Экономическая теория

    Свойство  8 означает, что ПФ является однородной функцией (ОФ) степени р > 0. При р > 1с ростом масштаба производства в γ раз (число γ > 1), т.е. с переходом от вектора х к вектору γх объем выпуска возрастает в γ^р раз, т.е. имеем рост эффективности производства с ростом масштаба производства. При р<1 имеем падение эффективности производства с ростом масштаба производства. При р = 1 имеем постоянную эффективность производства с ростом его масштаба (или имеем независимость удельного выпуска от масштаба производства, в английской терминологии).

    Для ПФЗВ (ПФЛ) свойства 1-7 выполняются. Свойство 8 выполняется при p = l.

    Для ПФ ПЭЗР свойства 1-7 выполняются. Свойство 8 выполняется при р=h.

    ПФ, для которой выполняются свойства 4, 5, 6, 8, называется неоклассической.

    При n = 2 для любой ПФ, для которой справедливы все (или часть) свойств 1-8, изокванта (если она не является прямой) есть линия (не обязательно гладкая), которая выпукла к точке 0. Если график T ПФ похож на выпуклую вверх «горку», то естественно, что ее изокванты есть линии, выпуклые к точке 0. 

Тема 5. Предельные (маржинальные) и средние значения производственной функции

    Пусть у = f(х) = f(x₁,х₂) (у = f(х) = f(x₁, …., х_n)) - производственная функция (ПФ). Дробь

    

называется  средней производительностью i-го ресурса (фактора производства) (СПФ) или средним выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика:

    В случае двухфакторной ПФ, у которой  х₁=К, x₂=L для средних производительностей и основного капитала и труда используются соответственно термины «капиталоотдача» и «средняя производительность труда».

    Пусть у = f(х) = f(x₁,х₂) (у = f(х) = f(x₁, …., х_n)) - производственная функция. Ее первая частная производная

    

называется  предельной (маржинальной) производительностью i-го ресурса (фактора производства) (ППФ) или предельным выпуском по i-му ресурсу (фактору производства). Символика:

    Обозначим символами Δx_i и Δ₁(f(х)) (Δ₁ f(х₁, х₂) = f(x₁+Δx₁, x₂) – f(х₁, x₂); Δ₂ f(х₁, x₂) = f(х_1, х₂+Δх₂) - f(х₁, x₂)) соответственно, приращение переменной х_i и соответствующее ей частное приращение ПФ f(x). При малых Δх_i имеем приближенное равенство:

    

    Следовательно, ППФ (приближенно) показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если объем затрат х_i i-го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. Здесь предельную величину (т.е. ППФ) целесообразно интерпретировать, используя близкое к ней отношение малых конечных величин, т.е. Δ_i f(х) и Δх_i. Отмеченное обстоятельство является ключевым для понимания экономического смысла ППФ   . С другими предельными величинами следует поступать аналогичным образом.

    Пример 1. Для ПФКД   найдем в явном виде A₁, A₂, M₁ и M₂. Имеем:

    

    Для ПФ у = f(x) (не только для ПФКД) неравенства

    

(т.е. предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса) обычно выполняются.

    Пример 2. Для ЛПФ у = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ (а₀>0, a₁>0, а₂>0) найдем в явном виде A₁, A₂, M₁ и M₂.

      Имеем:

    

Тема  6. Производственные функции в темповой записи

    Наряду  со связями объемных показателей  выпуска и затрат ресурсов могут быть рассмотрены связи между темпами прироста этих показателей. Будем здесь говорить о макроэкономических производственных функциях, связывающих величину совокупного продукта (дохода) Y с затратами капитала К и труда L, но все это легко обобщается на любые другие производственные функции. Обозначим темпы прироста величин Y, К и L малыми буквами у, к и l соответственно.    Это   могут   быть   дискретные   темпы    прироста или непрерывные темпы прироста . Итак, ПФ в темповой записи имеет вид: у = f(k, l).

    Теперь  рассмотрим связь ПФ Кобба-Дугласа в объемной и темповой записи. Пусть величины К и L являются непрерывными дифференцируемыми функциями времени (K_t и L_t). В таком случае они представляют не объемы использованных ресурсов за определенный период времени, а «интенсивности» их использования в каждый момент времени. От функции Y_t = можно после ее логарифмирования взять полный дифференциал:

и после  деления обеих частей на dt получаем

    Здесь - непрерывные темпы прироста выпуска, капитала и труда.

    Таким образом, ПФКД в объемных показателях соответствует линейная зависимость темпов прироста:

.

    Эта зависимость называется производственной функцией Кобба-Дугласа в темповой записи.

    Если  заменить дифференциалы dY_t, dK_t, dL_t (главные линейные части приращений) на сами приращения ΔY_t, ΔK_t, ΔL_t, то получим приближенную формулу:

,

где , , - дискретные темпы прироста.

    Таким образом, и в дискретном случае функции  Кобба-Дугласа в объемных показателях соответствует линейная формула связи темпов прироста , и Однако при ее анализе и оценивании надо иметь в виду следующее. Формулы Y_t = и эквивалентны при непрерывном рассмотрении времени. В то же время статистические данные, по которым оцениваются ПФ, всегда дискретны; обычно это погодовые данные. В этих условиях приведенные формулы зависимостей для объемов и темпов прироста - это разные ПФ. Иногда оценки параметров α, β и γ, полученные для объемной ПФКД, переносят на темповую формулу, и наоборот. Так делать некорректно; каждая из этих формул должна быть оценена в отдельности. Даже если они оценены по одним и тем же статистическим данным (т.е. по объемам и темпам, соответствующим друг другу), результаты такой оценки могут быть совершенно различными. Одна из формул, например, может не дать статистически значимой оценки, в то время как по другой получается вполне приемлемый результат.

    Из  проделанных выкладок вытекает, что  показатель γ (свободный член ПФКД в темповой записи) - темп нейтрального технологического прогресса. Это та часть темпа прироста выпуска, которая не связана с приростом затрат капитала и труда, а отражает интенсификацию производства на макроуровне.

    Пусть, например, оценена следующая формула  ПФ в темповой записи:

    Пусть при этом средний темп прироста затрат труда l_t составил 1%, средний темп прироста используемого капитала k_t = 6%, а средний темп прироста выпуска у_t = 3,9%. Вклад в эти цифры экстенсивных факторов - прироста затрат капитала и труда - составил соответственно, %: 0,3 ∙ 6 = 1,8 и 0,6 ∙ 1 = 0,6. Вклад интенсивных факторов (технологического прогресса) составляет 1,5 процентных пункта, или ∙100% ≈ 38,5%.  

Тема 7. Эластичность замены факторов. Производственная функция CES

    Обобщение производственной функции Кобба-Дугласа (ПФКД) может осуществляться в различных направлениях. Наиболее известным обобщением является производственная функция CES, или ПЭЗ - функция с постоянной эластичностью замены одного ресурса другим. Эластичность замены σ - это мера «кривизны» изоквант (линий уровня) ПФ. Точнее, «кривизну» измеряет   величина .    Эластичность   замены   труда   капиталом показывает, на сколько процентов изменится капиталовооруженность труда при изменении предельной нормы замены труда капиталом на 1%. Если изобразить одну из изоквант (линий уровня, т.е. Y = const) ПФ на плоскости KL (рис. 2), обозначив ее 1, то предельная норма замены в точке А - это тангенс угла наклона этой изокванты (т.е. tgα).

    

    Рис. 2

    При перемещении из точки А в точку В по изокванте наклон касательной меняется, меняется и соотношение . Это соотношение постоянно вдоль каждой прямой, проходящей через начало координат (например, прямых 2 и 3). Величина показывает относительное изменение тангенса угла наклона линии уровня в расчете на единицу изменения отношения . Очевидно, чем сильнее меняется наклон линии уровня при переходе, скажем из точки А в точку В (с прямой 2 на прямую 3), тем больше «кривизна» линии уровня.

    На  рис. 3 изображены линии уровня функций: а - линейной ПФ Y=aK+bL+c; б - ПФКД; в - ПФ с бесконечной эластичностью замены Y=min(aK,bL) (функции Леонтьева); г - ПФ CES (функции с постоянной эластичностью замены).

Рис. 3

    Линейная  ПФ имеет нулевую «кривизну» и, соответственно, бесконечную эластичность замены σ. Функция Кобба-Дугласа имеет эластичность замены, равную единице. Функция Леонтьева имеет нулевую эластичность замены: ресурсы в ней должны использоваться в заданной пропорции и не могут заменять друг друга. В реальной экономике степень взаимозаменяемости ресурсов может быть различной, соответственно различной (а не только нулевой, бесконечной или единичной) может быть и эластичность замены. Это ставит задачу оценки более общих формул ПФ; в частности ПФ с постоянной, но произвольной эластичностью замены. Такая функция (функция CES) описывается формулой:

    Здесь ρ ≥ -1; п > 0 - степень однородности; А > 0; 0 < и < 1.

    Эластичность  замены одного ресурса другим для  такой функции равна . Если ρ = -1, то получаем функцию с линейными изоквантами (в частности, линейную), при ρ→0 в пределе получаем ПФКД с σ = 1, при ρ→∞ - ПФ Леонтьева.