Шпаргалки к экзамену по динамике подземных вод

1. Уравнение неразрывности массы жидкости.

Для вывода ур-я  неразрывности выделим в напорном водоносном пласте кубик dx, dy, dz. Ч-з заднюю грань вытекает масса жидкости = ρV_xdydzdt = M'.

V дв-я (массовая) выражается: d(ρV_x)/dx. На уч-ке dx массовая V получ приращение [d(ρV_x)/dx*dx]dydxdt. dx – расстояние.

M'' = ρV_xdydzdt + [d(ρV_x)/dx*dx]dydxdt = [ρV_x + d(ρV_x)/dx*dx] dydxdt.

Разница между  массами жидк, втек и вытек ч/з  заданые границы:

M' – M'' = ρV_xdydzdt - [ρV_x + d(ρV_x)/dx*dx] dydxdt = - d(ρV_x)/dx*dxdydxdt

Проводя аналог вычесл по yz, получим ΔМ — разница массы жидк, вошедшей и вышедш со всех сторон =

ΔМ' = (- d(ρV_x)/dx - d(ρV_y)/dy - d(ρV_z)/dz)dxdydxdt;

ΔМ либо накапл в кубике, либо получается за счет уменьш запасов воды в нем. Упругие запасы = ΔМ'' =  ρndxdydzdt, а скорость их изм во t опр-ся частной произв-й d(ΔМ)/dt =  d(ρn)/dt*dxdydxdt. Приравнивая

ΔМ' = ΔМ'' = (- d(ρV_x)/dx - d(ρV_y)/dy – d(ρV_z)/dz)dxdydxdt = d(ρn)/dt*dxdydxdt + d(ρV_x)/dx + d(ρV_y)/dy + d(ρV_z)/dz – d(ρn)/dt = 0 – конечное уравнение неразр массы жидкости. Перечисл выводы могут быть повторены для расчетного эл-та изолир-го напорного пласта мощн m. При этом xy лежат в пл-ти напластования. Расходы жидк ч/з верх и нижн грань z = 0 (изолир пл-т). Ур-е неразрывности:

d(ρmV_x)/dx + d(ρmV_y)/dy + d(ρmn)/dt = 0

Осн закон-ти (ур состояния, ур движ Дарси, ур неразр) образ  систему опред-х ур-й, из к-х можно  получить результируещее диф ур-е  фильтрации, отраж всю инф о  процессе и содерж единст неизв —  напор Н, завис от xyzt.

2. Емкостные  св-ва г.п.

Водообильность — не общий V воды в порах, а вода кя может быть извлечена водозабором. Способность породы отдавать воду связана с емкостными св-ми. Удаление воды происх 2мя путями: свободн стекание под дейст Fтяж — гравит емкость, отжатие воды под воздейст доп нагрузки — упругая емкость _тк пр-с сжатия носит упр хар-р). Емк св-ва хар-ся и обратным пр-сом — когда порода приним доп V воды.

Гравит емкость  — ΔH – изменение уровня воды соотв V вытекшей воды. Для однородного уплотн песка ΔV/wΔH = ΔV/ΔH = μ; w — S попер сечения.  μ — коэф гравит емкости (водоотдачи), отн V вытекшей воды к Vосуш породы. Понятие «осушенности» - условно. После стекания воды в породе ост иммобилизац вода и вода на стыках пор, к-я явл гравит. Аналог коэф гравит водоотдачи при подьеме при подьеме уровня п.в. и заполнения пор водой явл коэф недостатка водонасыщ. Но его числ зн-е меньше, чем  μ, тк в породе сохр защемл воздух. Крупноз пески и гравий — 0,25 — 0,3; мелео и ср пески — 0,15 — 0,2; супеси — 0,05 — 0,1; суглинки и глины — 0,001 — 0,01.

Упругая емкость — пески ост полностью водонасыщ, те на порный водоносн компл отдают воду не осушаясь. 2 пути: за счет расширения воды за счет уменьш в ней гидростат P. За счет сжатия породы.Оба мех-ма опред упругую емк пласта и проявл снижением напоров во время откачки. При откач гидростат Р пониж, уменьш взвеш дейст воды, в породе увел эффектив напряж-я (от веса самой породы), происх уменьш V породы за счет уменьш пор и трещин. Показатель уменьш V пор по мере нагруж породы служит коэф сжим = измен коэф пористости/изм эффект напряж. А_с = Δε/Δσ_е. Величина, хар-ся изм V жидк в ед-це V породы при единичном изм гидрост напора над коэф упругой емк породы ΔV₀/V_n = η*ΔH; η* - коэф упр емкости. [η*] = [1/м]. При сниж напора к-во жидк в пласте уменьш, те кажд ед V породы отд некот V воды = μ*ΔН. μ* = η*m. μ* - коэф упругой водоотдачи. ΔV₀ =  μ*ΔН. Пески (0,5 — 1)10^-4; трещин породы 10^-5; для трещин порист-ти 10^-4.

3. Гидростатический  и гидродинамич напор.

Гидростат —  механ енерг нек-го V покой жидк-ти с пост ρ опред ее потенц составл и измер-ся работой, кот нужно совершить, чтобы преод дейст 2х полей — гравитации (поднять V жидк на высоту z относ пл-ти сравнения); силы гидростат Р, дейст в V жидк. Н — гидрост напор, h_р — пьезометр высота; z — высота. Н = h_р + z; Н = Р/sg +z;

h_р хар-я долю потенц Е в жидк-ти, связ с действ гидростат давл-я. Z — геом высота полож-я рассматр V жидк относ выбран пл-ти ср-я — уровень М₀. Н — м абс высоты.

Гидродинамич  — полная мех Е движ V жидк-ти включ потенц и кинетич Е и опред ур-м Бернулли:  Н = Р/sg +z + u²/2g;  u²/2g – скоростн напор, хар подьем воды, обусл v движ потока жидк. При медл дв-ии пв, скоростной составл пренебрегают, тк при этом доп подьем воды сост не > 0,01 мм, тогда полная Е движ пв будет опред-ся гидростат напором.

4. Основные гидродинамические представления ДПВ. Геофильтрация пв. Фильтрационный поток. Область фильтрации. Краевые условия области фильтрации.

Фундаментальные закономерности:

уравнения состояния, отражающие возможный характер изменения физ св-в изучаемой среды во время фильтр пр-са. 1)з-н Гука, отраж зависимость плотности от гидростат давл. 2) компрес ур-е, отр связь пористости с эффект давлением. а_с = dε/dσ_э.

Уравнение движения — связь  между потерей  Е потока и работой  сил сопрот — з-н  Дарси. v = - kdH/dl.

Усл сохр-е массы жидк — ур неразрывности.

d(ρmV_x)/dx + d(ρmV_y)/dy + d(ρmn)/dt = 0

Фильтрация  — движение вода в насыщ порами пр-ве обусл наличием гидравлич градиента (перепад  напоров)

Стр-ра потока пв опред взаимн располож линий тока и линий равного  напора. По простр стр-ре выдел 1мерн (между 2мя || реками, дв воды к соверш скв), 2мерн (между не || реками), 3х мерными.

5. З-н Дарси.  Усл применимости.

Предпосылки вывода: связь между силами сопрот и изм  Е потока (fтр = -γ_m*dH/dl; dH/dl – гидровл град, γ_m = ρ_mg.); если движ жидк ламинарное, то завис между v гидр град линейное; из ф-лы Гагено-Пуазейля для сист || капилляр радиусом r. Q = -1/8*πρ_жgr⁴_ж/μ_ж*dH/dl*N; N = n/πr²_к — число капил, μ - вязкость ж, Q - сум расход; ч/з 1нич капил Q = v_dn; v_d = -r2/8*ρ_ж/μ* dH/dl;

Дарси проводил опыты по трубкам и определил, что получается прямолин график завис  v от I. V = Q/F=kI; F – S попер сеч, Q - расход ж, I - перепад напоров к длине, k - коэф пропорц, завис от грунта и жидк; vф — отн расхода к попер сечен.

З-н Дарси - v = - kdH/dl. Можно мпроект на оси, если св-ва среды в разл напр различны.

Общий вид —  v = - k₀ρ_жg/μ_ж * dH/dl. k₀ - коэф прониц, зависит только от св-в среды. k =  k₀ρ_жg/μ_ж;

Применим только для ламин дв-я, ограничения:

верх предел — переход ламин в турбулент, сильнозакарст породы, широкие трещины, вход воды из гп в скв, число Рейнальдса Re = 7-9ед.

Ниж предел —  слабопрон глин породы, где движ своб воды может происходить только при наличии высокого напора.

6. Разделение  потоков пв по усл залегания  и гидравл сост. Расход фильтр потока. Скорость фильтрации. Гидростат напор фильтр потока.

Стр-ра потока пв опред взаимн располож линий тока и линий равного напора. По простр стр-ре выдел 1мерн (между 2мя || реками, дв воды к соверш скв), 2мерн (между не || реками), 3х мерными.

Расход Q = kIF. V фильтр = V = Q/F=kI = - kdH/dl.

Гидростат —  механ энерг нек-го V покой жидк-ти с пост ρ опред ее потенц составл и измер-ся работой, кот нужно совершить, чтобы преод дейст 2х полей — гравитации (поднять V жидк на высоту z относ пл-ти сравнения); силы гидростат Р, дейст в V жидк. Н — гидрост напор, h_р — пьезометр высота; z — высота. Н = h_р + z; Н = Р/sg +z;

h_р хар-я долю потенц Е в жидк-ти, связ с действ гидростат давл-я. Z — геом высота полож-я рассматр V жидк относ выбран пл-ти ср-я — уровень М₀. Н — м абс высоты.

7. Диф ур упругого  режима фильтрации

Более общая  модель, к-я учитывает сжимаемость  пласта и воды: dV/V = 1/E*dp (коэф пористости); а_с (коэф компрессии) = -dt/dσ (изм эфект напряж).

Счит что из-за пониж v фильтр и малой простр изменч-ти плотности будем иметь: d(ρv_x)/dx = ρdv_x/dx + [vxdρ/dx]можно пренебр из-за малой изм ρ воды ~ ρdv_x/dx;

Ур-е сост находит  отражение в зависимости, включ  коэф упругой емкости пласта: dV0/Vn = η*dH [30]; V0 = nVn; Vn = V0/n; dV0/(V0/n) = ndV0/V0; [31]; Масса воды в единичн V породы: M0 = ρn; Выразим 31 ч/з массу: ndM0/M0 = ndρn/ρn = dρn/ρ [32]; Из 30:  dρn/ρ =  η*dH [33];  η* - упр емкость [1/м]. Из 33 dρn = ρη*dH [34]; Если 34/t: dρn/dt = ρη*dH/dt [35];

Ур-е неразрывности: ρdV_x/dx + ρdV_y/dy + ρdV_z/dz + d(ρn)/dt = 0; 35 в ур-е неразр и /ρ:

dV_x/dx + dV_y/dy + dV_z/dz + ηdH/dt = 0; С учетом з-на Дарси: -d/dx*(KxdH/dx) - d/dy*(KydH/dy) - d/dz*(KzdH/dz) + ηdH/dt = 0;

Для однор изотропной среды (Kx=Ky=Kz): K(d²H/dx² + d²H/dy² + d²H/dz²) = ηdH/dt; d2H = η/K*dHdt [36]; d2H = 1/a*dH/dt; [37] – ур-е Фурье; a* = K/ η – коэф пьезопров [м²/сут];

В отл от жесткого режима ур-е упругого режима опред-ся 3мя простр коорд и временем, и  движ не стационарное.

Физически —  по мере уменьш напоров во t в водоносн пласте постеп срабатыв его упругие запасы. Высвоб V воды вклад в общий баланс фильтр потока. Реакция от возмущ напоров на гр-це или в какой-то обл водоносн пл-та распростр постеп, и v распр тем выше, чем выше прониц и ниже упругоемкость. Отсюда коэф пьезопров-ти а* явл показат v изм напора (гидростат давл) в пласте.

8. Диф ур жесткого  режима фильтрации.

Основываясь на ур неразрывности делаем допущение  что порода и вода не сжимаемы: ρ = А, n = В. А и В = const не завис от t. Тогда в ур неразр пропадает временная проиизводная d(ρn)/dt = 0; Можно считать что интенсивность пространственной изменчивости плотности очень мала: v_xdρ/dx << ρdv_x/dx. Тогда из ур неразравн получим: dv_x/dx + dv_y/dy + dv_z/dz = 0;

Подст з-н Дарси: d/dx*(K_xdH/dx) + d/dy*(K_ydH/dy) + d/dz*(K_zdH/dz)=0; K_xK_yK_z – зн-е коэф фильтр по напр осн осей анизотропии. Для однор изотропн пласта: d²H/(dx)² + d²H/(dy)² + d²H/(dz)² = ∆²H = 0;  K_x=K_y=K_z;

∆²H – сумма 2х призв-х, оператор Лапласса для ф-ии напора. Для 2мерного дв-я: ∆²H =  d²H/(dx)² + d²H/(dy)²;[1]; Для радиального: 1/∆*H² = 1/r*d/dr*(rdH/dr);

Ур-е жесткого режима [1] не содержит t в явном виде => при пеизменных напорах на гр-х обл фильтр-ии дв-е должно быть стационарным. H = f(xyz) – не завис от t => водоносн пласт не отдает воду и не принимает. Вся вода проходит транзитом от обл питания к обл разгрузки. При этом р-я на возмущ в любой обл пласта мгновенно распр по всему пласту как в абс жесткой физ системе. Данная модель применима когда транз поток значит превыш упругие запасы пласта.

9. Упругая водоотдача.

 μ* = η*m. μ* - коэф упругой водоотдачи. ΔV₀ =  μ*ΔН. Пески (0,5 — 1)10^-4; трещин породы 10^-5; для трещин порист-ти 10^-4.

Величина, хар-ся изм V жидк в ед-це V породы при единичном изм гидрост напора над коэф упругой емк породы ΔV₀/V_n = η*ΔH; η* - коэф упр емкости. [η*] = [1/м]. При сниж напора к-во жидк в пласте уменьш, те кажд ед V породы отд некот V воды = μ*ΔН.