Система счисления

   Основные  понятия 

    Система счисления  – это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

    Совокупность всех символов, при  помощи которых можно записать любое  число в заданной системе счисления  называется алфавитом системы счисления.

    Символы алфавита системы счисления  называются цифрами системы счисления.

   Системы счисления делятся  на

• непозиционные системы счисления;
• позиционные системы счисления.

    В непозиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, не зависит от позиции цифры в числе.

   Примером непозиционной системы счисления является римская система, которой мы чаще всего пользуемся для нумерации (века, глав книги и пр.)

   В римской системе  счисления в качестве цифр используются латинские буквы:

   Например, число ХХХ = 10 + 10 + 10 = 30                  Цифра Х всегда равна 10, независимо от позиции, в которой она находится.

   При записи чисел в  римской системе  счисления используются следующие правила:

1. Цифры записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае их значения складываются (VI = 5 + 1).
2. Если слева записана меньшая цифра, а справа большая – то их значения вычитаются (IV = 5 – 1 = 4).
3. Перед старшей цифрой не может быть записано более одной младшей цифры.

(Нельзя писать IIV = 5 – 1 – 1 = 3. Надо: III = 1 + 1 + 1 = 3)

   Пример 1: MCMXCVII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10 ) + 5 + 1 + 1 = 1997

   Пример 2: 794 = (500 + 200) + (100 – 10) + (5 – 1) = DCCXCIV

   В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

   Для вычислений мы используем арабскую систему счисления, алфавит которой состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

   Например, число 333 = 300 + 30 + 3. 
Здесь цифра 3 в самой младшей (крайней справа) позиции обозначает число 3, та же цифра 3 в следующей позиции – число 30, а в самой старшей (крайней слева) позиции – число 300.

   Непозиционные системы счисления  имеют рад недостатков:

• Для записи больших чисел приходится вводить новые цифры.
• Например , записать 50 000 при помощи цифры М (1000) неудобно – получится слишком длинное число. Один из выходов – ввод новых цифр.
• Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.
• Сложно выполнять арифметические операции, особенно умножение и деление.

   Всех  этих недостатков лишены позиционные  системы счисления. В дальнейшем мы будем рассматривать представление  чисел только в позиционных системах счисления.

 

   Позиционные системы счисления 

   В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

   Количество  используемых цифр называется основанием системы счисления.

   Покажем связь между основанием системы счисления, ее названием и алфавитом.

   Обратите  внимание на системы счисления с  основанием большим 10.

   Это делается для того, чтобы не возникало путаницы между числом и цифрой.

   Например, число 10 в шестнадцатеричной системе счисления 10₁₆ = 16 палочек.

   А цифра 10 — А = 10 палочек.

   Чтобы показать, что число  записано в системе  счисления, отличной от десятичной, в которой все мы привыкли считать, основание системы счисления указывают в качестве нижнего индекса слева от числа (100101₂, 234₆, 3В₁₆).

   Основные  достоинства любой  позиционной системы  счисления:

• ограниченное количество символов;
• простота выполнения арифметических операций.

   В повседневной жизни наиболее употребительна 10-ичная  система счисления. И тем не менее  великий французский математик  Блез Паскаль писал:

   Десятичная  система счисления характеризуется  тем, что в ней считают десятками:

• десять единиц – это десяток;
• десять десятков – это уже сотня;
• десять сотен – тысяча и т.д.

   В 2-ичной  системе счисления считают двойками, в 5-ичной – пятерками, в 8-ой – восьмерками и т.д.

Запись  чисел в развернутом виде

Запишем десятичное число А₁₀ = 4718,63 в развернутой форме:

А₁₀ = 4*10³ + 7*10² +1*10 ¹ +8*10 ⁰ +6*10 ^-1 +3*10 ^-2

В двоичной системе  счисления основание = 2.

Запишем  число  А ₂ =1001,1 в развернутом виде и получим число, выраженное в десятичной СС.:

А ₂ =1*2 ³ +0*2 ² +0*2 ¹ +1*2 ⁰ +1*2 ^-1 =8+1+0,5=9,5 ₁₀

Запишем  число А ₈ =7764 и получим число, выраженное в десятичной СС.:

А ₈ = 7*8 ³ +7*8 ² +6*8 ¹ +4*8 ⁰ =3584+448+48+4=4084 ₁₀

Запишем  число  А ₁₆ =3АF₁₆ развернутом виде и получим число, выраженное в десятичной СС.:

А ₁₆  =3*16 ² +10*16 ¹ +15*16 ⁰ =768+160+15=943 ₁₀

Задания

Какие числа записаны римскими цифрами:

MCMXCIX

CMLXXXVIII

MCXLVII

Как получить верные равенства, если разрешается  переставить только одну палочку?

Запишите  в развернутом  виде числа:

А _{8 =} 143511;   0,143511;

А ₂ =100111;   110011;

А ₁₆  =143511;   1А3,5С1;

А₁₀ =546,124;

Дом. Задание:

1. Выучить лекцию;

2. С помощью  римских цифр запишите год,  месяц и число своего рождения;

3. Запишите в развернутом виде числа:

А ₂ =111011;   10011;

А ₃=2112;   112122;

А _{8 =} 562401;   47,253;

А ₁₆  =B7E55,   85A42F;

Двоичная  система счисления 

Составим таблицы  сложения и умножения для двоичной системы счисления.

Вот еще один аргумент за то, что вся информация в памяти компьютера хранится в двоичном коде (в виде 0 и 1).

Рассмотрим  примеры сложения и вычитания  в двоичной системе счисления.

Необходимо помнить:

• при сложении чисел в двоичной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 2!
• при вычитании — в старшем разряде мы занимаем не 10, а 2 единицы.