Задачи по финансовой математике

     Следовательно, получим 

     Критическое значение задано r кр = 0,32;|r(1)| = 0,33 > r кр = 0,32, отсюда следует, что не выполнение независимости остатков достоверно. 

3. Свойство  нормального распределения.

Используем  R/S критерий

R/S = Emax – Emin/ S(E), где

Emin, Emax – наименьший и наибольший остатки;

S(E) – средне-квадратичное отклонение ряда остатков.

Через определенные функции найдем нужные нам значения:

 

Критерий  интервала задан: (3;4,21). Наше R/S = 3,78 принадлежит данному интервалу, следовательно, свойство нормального распределения остатков выполняется. 

 

ЗАДАЧА  №2 

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.

Требуется рассчитать: 

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;  

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D. 

Результаты  расчетов отобразить на графиках. Сделать соответствующие выводы.

Интервал сглаживания  принять равным пяти дням.

Расчеты проводить  для всех дней, для которых эти  расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение. 

Все исходные и расчетные данные.

 
 
 

1. Найдем  экспоненциальную скользящую среднюю (EMAt).

 

Расчет  возьмем для t >= n =5

Для определения начального значения ЕМА5 используем формулу простой скользящей средней:

EMA5 = MA5= (723+712+720+738+715)/5= 721,6.

Дальнейшие  расчеты выполним по формуле экспоненциальной скользящей средней.

ЕМА_t = k*C_t +(1-k)*EMA_t-1

Определим коэффициент сглаживания: k = 2/(1+5) = 1/3;

EMA6 = 1/3*744+(1-1/3)*721,6=729,07;

Далее высчитываем аналогично.

 
 

Вывод: С 5 по 9 день график EMA находится ниже ценового графика, следовательно, наблюдается восходящий тренд. Рекомендуется покупка финансового инструмента.

В 10 день графики пересекаются. Это сигнал разворота. Рекомендуется остановить покупку. Можно начать продажу финансового инструмента.  


2. Найдем  момент (МОМt).
 


Используем  формулу МОМ: MOMt = Ct – Ct-n

 МОМ6 = 744-715=29;

Аналогично, МОМ7 = 97,  МОМ8 = 107 и т.д.

График момента MOM(t)

 


Вывод: С 6 по 10 день график выше нулевого уровня. Тренд восходящий. Рекомендуется покупка финансового инструмента.

Т.к. график не пересекается с нулевым  уровнем, то сигнал разворота тренда отсутствует. 


3. Найдем  скорость относительной  силы (ROCt).

Для нахождения скорости относительной  силы используем формулу

ROCt = (Ct/ Ct-n) *100(%)

ROC6 = 744/715*100=104,06%

Остальные высчитываем аналогично. 


График скорости изменения  цен ROC(t)

 


Вывод: С 6 по 10 день уровень графика изменения цен выше100% уровня. Тренд восходящий. Рекомендуется покупка финансового инструмента.

Т.к. график не пересекается с уровнем 100%, следовательно, сигнал разворота тренда не существует. 


4. Найдем  индекс относительной  силы (RSIt).

В данном случае используем формулу:

RSIt = 100- (100/(1+( Aut,n/ Adt,n))).

Для использования формулы расчета  индикатора RSI предварительно найдем изменения  цен закрытия ΔC = C_t – C_t-1 для всех дней t >=2.

Из  значений ΔC выберем положительные, характеризующие повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен.

Для всех t >=6 рассчитаем суммы приростов  Aut,n и суммы убыли Adt,n цен закрытия за 5 дней до дня t.

Отсюда  получим:

RSI6 = 100- (100/(1+(55/26)))=67,95;

Аналогично  высчитываем остальное. 
 
 


График индекса относительной  силы RSI(t)

 


Вывод: С 7 по 9 день график находится в критической  зоне ( верхняя зона – пререпокупаемости). Рекомендуется остановить покупку. В 10 день график выходит из критической зоны. Это является сигналом разворота. Рекомендуется начать продажу финансового инструмента.

 В 6 день  – нейтральная зона. Финансовые  операции возможны: покупка. 


5. Найдем  стохастические индексы: %K, %R, %D.

 Для  нахождения используем формулы:

%Kt = ((Ct – Lt,n)/ (Ht,n – Lt,n ))* 100 (%);

%Rt = ((Ht,n – Ct)/ (Ht,n – Lt,n)) * 100 (%);

%Dt = (∑( Ct – Lt,n) /∑(Ht,n – Lt,n)) * 100 (%). 


	Расчет  индексов %K, %R, %D (стохастические линии)
t	H(t,5)	L(t,5)	H(t,5)-C(t)					C(t)-L(t,5)	H(t,5)-L(t,5)		%K		%R		sum(C-L)		sum(H-L)	%D
1
2
3
4
5	750	701	27					22	49		44,90		55,10
6	750	702	6					42	48		87,50		12,50
7	835	702	0					133	133		100,00		0,00		197		230	85,65
8	875	702	48					125	173		72,25		27,75		300		354	84,75
9	875	702	37					136	173		78,61		21,39		394		479	82,25
10	875	716	108					51	159		32,08		67,92		312		505	61,78
Стохастические линии %R, %K, %D

 
 


Вывод:

Анализ %К.

С 6 по 9 день график находится в критической  зоне. Рекомендуется приостановить  финансовые операции в ожидании разворота  тренда. В 10 день график выходит из критической  зоны. Это является сигналом разворота тренда. Рекомендуется начать продажу финансового инструмента. В 5 день возможны финансовые операции – покупка финансового инструмента. 


Анализ %R.

Этот  анализ позволяет сделать те же выводы в силу симметрии.

 

Анализ %D.

С 7 по 9 день график находится в критической зоне. Это подтверждает приостановку финансовых операций. В 10 день график выходит из критической зоны, это является сигналом разворота. Рекомендуется начать продажу финансового инструмента. 
 
 


ЗАДАЧА  № 3. 


    Выполнить  различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии

задачи значения параметров введены в виде переменных. Например, S означает некоторую сумму 

средств в рублях, Тлет - время в годах, i - ставку в  процентах и т.д. По номерам переменных из 

таблицы необходимо выбрать соответствующие численные  значения параметров и выполнить  расчеты.

Решение.

3.1. Банк выдал  ссуду, размером S = 1500000 руб. Дата  выдачи ссуды - Tн – 17.01.02, возврата - Tк – 13.03.02. День выдачи и  день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i = 20% годовых.

Найти:      

3.1.1) точные проценты  с точным числом дней ссуды; 

3.1.2) обыкновенные  проценты с точным числом дней  ссуды; 

3.1.3) обыкновенные  проценты с приближенным числом  дней ссуды.

Дано: P = 1500000;

          Tn = 17.01.02;

          Tk = 13.03.02;

          I = 20%;

          Y - ?

3.1.1 365/365;

         к = 365,  t = 15+28+12 = 55.

         Y = P * i * n                 n = t/k

         Y = 1500000*0,2*55/365 = 45205,48 руб.

3.1.2  365/360;

         k = 360, t = 55.

         Y = 1500000 * 0,2 * 55/360 = 45833,33 руб.

3.1.3  360/360;

         k = 360, t = 14+30+12 = 56.

         Y = 1500000 * 0,2 * 56/360 = 46666,67 руб. 

Ответ:         Y1 = 45205,48 руб.; Y2 = 45833,33 руб.;

Y3 = 46666,67 руб. 

3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 1500000 руб. Кредит выдан под i = 20% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Дано: Тдн = 180;

          S = 1500000;

           i = 20%;

           P - ? ; D - ?

S = P (1+i*t/k);

P = S/1+i*t/k;

D = S – P .

P= 1500000/1+0,2 * 180/360 = 1363636,36 руб.

D= 1500000 – 1363636,3 = 136363,64 руб.

Ответ: P= 1363636,36 руб. D= 136363,64 руб 


 

3.3. Через 180 дней предприятие должно получить по векселю1500000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i = 20% годовых (год равен 360 дням).

Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Дано: Тдн = 180;

          S = 1500000;

          d = 20%;

          k = 360 дн.

          P - ? , D - ?

Р = S ( 1 – dn);      n = t/k;

P = 1500000( 1 – 0,2 * 180/ 360) = 1350000 руб.

D = 1500000 – 1350000 = 150000 руб.

Ответ: P = 1350000 руб. D = 150000 руб.  


3.4. В кредитном  договоре на сумму 1500000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i = 20% годовых. Определить наращенную сумму.

Дано: Р = 1500000;

          Тлет = 4;

          i = 20%;

          S - ?

S = P(1+i)^N;

S = 1500000 *(1+0,2) ^ 4 = 3110400 руб.

Ответ: S = 3110400 руб. 


3.5. Ссуда размером 1500000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка – i = 20% годовых.

Проценты начисляются  2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Дано: P = 1500000;

          T = 4;

           i = 20%;

           m = 2;

           S - ?

S = P (1+in/m)^n*m;

N = m*n;

S = P(1+i/m)^N.

S = 1500000(1+0,2/2) ^8 = 3215383,2 руб.

Ответ: S = 3215383,2 руб. 


 

3.6. Вычислить  эффективную ставку процента, если  банк начисляет проценты 2 раза в году, исходя из номинальной ставки i = 20% годовых.

Дано: m = 2;

          i = 20%;

          iэ = ?.

iэ = (1+in/m)^m – 1;

iэ = (1 + 0,2/2)^ 2 – 1 = 0,21= 21%.

Ответ: iэ = 21%. 
 


3.7. Определить, какой должна быть номинальная  ставка при начислении процентов  2 раза в году, чтобы обеспечить аффективную ставку i = 20% годовых.

Дано: m= 2;

          iэ = 20%;

          iн = ?.

iн = [(1+iэ)^1/m – 1 ] * m;

iн = [(1+0,2)^1/2 – 1] * 2 = 0,19= 19 %.

Ответ: iн = 19 %. 
 


3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 1500000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i = 20% годовых.   

Дано: T = 4;

          S = 1500000;

          i = 20%;

          P -  ?

S = P(1+i) ^n;

P = S/(1+i)^n;

P = 1500000/( 1+0,2)^ 4 = 723379,63 руб.

Ответ: P =  723379,63 руб. 
 


  3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма1500000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i = 20% годовых. Определить дисконт.

Дано: S = 1500000;

          T = 4;

          d = 20%;

          D - ?

P = S*(1- d )^n;

P = 1500000 *(1 – 0,2)^4= 614400 руб.

D = 1500000- 614400 = 885600 руб.

Ответ: P = 614400 руб. D = 885600 руб. 


   3.10. В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 1500000 руб., на которые 2 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i = 20%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Дано: S= 1500000;

          T= 4;

          m = 2;

           i = 20%;

           ∑- ?

Расчет суммы  на расчетном счете к концу  срока осуществляется по формуле:

Sк.= S*[(1+i/m)^mn –  1]/[(1+i/m)^m – 1]

Sк.= 6880205,59

Ответ: Sк.= 6880205,59