Задачи по "Финансовой математике"

     Вариант №8

     Задача  №1

     На  сберегательный счет, открытый 3.02.2002, была положена сумма 7000 руб по простой  ставке 7,5% годовых. Затем на этот счет  21.04.2002 была добавлена сумма 6600 руб. Потом со счета 3.08.2002 была снята сумма 5500 руб. Определить сумму, полученную при закрытии счета 20.11.2002. (Германская практика начисления процентов)

     Решение

     Т=360 дней, i_s=7.5%

      +7000 +6600 -5500

           3.02  21.04 3.08 20.11

     FV = PV(1+ i× t/T)

     FV₁=7000(1+76×0,075/360) = 7110,83 (руб);

     FV₂=(7110,83 +6600)(1+102×0,075/360) = 14002,2 (руб);

     FV₃=(14002,2 – 5500)(1+ 108×0,075/360) = 8693,5(руб).

     Ответ: При закрытии счета 20.11.2002 будет получена сумма в размере 8693,5 руб . 

     Задача  №2

     Банк  начисляет проценты на вклады по простой  годовой ставке 18,5%. Определить сумму, которую надо положить 9.03.2002, чтобы 2.09.2002 получить 7000 руб. (Французская практика начисления процентов).

     Решение

     FV=7000 руб, i_s=18,5%, Т=360 дней.

     PV= FV/(1+i*t/T)

     PV = 7000/(1+177*0,185/360) = 7000/1,09096  = 6416,37 (руб).

     Ответ: Чтобы получить 2.09.2002 сумму в размере 7000 руб, необходимо положить в банк, начисляющий проценты на вклады по простой годовой ставке 18,5%, 9.03.2002 сумму в размере 6416,37 руб. 

     Задача  №3

     Банк  начисляет проценты на вклады по сложной  годовой ставке i_c =  42%. Определить сумму, накопленную на счете за  2,5 года, при сумме вклада 6000 руб. Расчеты выполнить по точному и приближенному методам. Сравнить с суммой, накопленной по простой годовой ставке i_s=i_с.

     Решение

     PV=6000 руб, n=2.5 лет, i_s=i_с=42%.

1. Простые проценты

     FV = PV(1+ n×i)

     FV = 6000(1+2,5×0,42) = 12300 (руб);

2. Сложные проценты

     2.1 приближенный метод

     FV = PV(1+ i)ⁿ

     FV = 6000(1+0,42)^2,5 = 14417 (руб);

1. Точный метод (смешанный)

     FV = PV(1+ i)^а * (1+i*b), n=a+b

     FV = 6000(1+0,42)² * (1+0.42*0.5) = 14639 (руб)

     Ответ: Таким образом, смешанный (точный) метод является более выгодным для вкладчика при начислении процентов на вклады по сложной годовой ставке. При этом начисление процентов по сложной годовой ставке дает вкладчику больший доход, чем по простой ставке процентов.  

     Задача  №4

     Банк  начисляет сложные проценты 6 раза в год по номинальной годовой  ставке j= 48%. Определить сумму, накопленную на счете за 2 года, при сумме вклада 6000 руб. Сравнить с суммой, накопленной по сложной годовой ставке i_с = j .

     Решение

     PV=6000 руб, n=2 года,

1. если j₆ = 48%   

     FV = PV(1+j/m)^nm

     FV = 6000(1 + 0,48/6)^6×2 = 15109 (руб);

2. если i_с = j₆= 48%

     FV = PV(1+ i)ⁿ

     FV = 6000(1+0,48)² = 13142,4 (руб).

     Ответ: Для вкладчика более выгодным является тот случай, когда банк начисляет сложные проценты 6 раза в год по номинальной годовой ставке j= 48%, а не по сложной годовой ставке i_с = j. При этом разница между двумя наращенными суммами составляет 1966,6 руб. 

     Задача  №5

     Банк  начисляет сложные проценты 4 раза в год по номинальной годовой  ставке j = 80%. Определить сумму, которую надо положить в банк, чтобы через 3 года накопить 18000 руб. Сравнить с суммой вклада, положенного под сложную годовую ставку i_с = j.

     Решение

     FV=18000 руб, n=3 года.

1. если j₄ = 80%   

     PV = FV/(1+j/m)^nm

     PV = 18000/(1+0,8/4)¹² = 2018,82(руб);

2. если i_с = j₄=80%

     PV = FV/(1+i)ⁿ

     PV = 18000/(1+0,8)³ = 3086,42 (руб).

     Ответ: Для того чтобы через 3 года накопить 18000 руб, необходимо положить в банк, который начисляет сложные проценты 4 раза в год по номинальной годовой  ставке j = 80%, сумму равную 2018,82 руб. При этом эта сумма меньше той (3086,42 руб), которую надо положить в банк, начисляющий проценты по сложной годовой ставке равной 80%, для того чтобы накопить аналогичную сумму за такое же время (почти на 1000 руб).  

     Задача  №6

     На  депозитный счет ежегодно в конце года в течение 15 лет будут вноситься 2200 руб, на которые будут начисляться сложные проценты по годовой ставке 6%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит по окончанию срока хранения депозита.

     Решение

     R = 2200 руб, n=15 лет, i_c=6%.

     Определим наращенную сумму:  

     S = R ×((1+i)ⁿ – 1)/i

     S= 2200*((1+0,06)¹⁵-1)/0,06= 51207 (руб);

     Определим сумму процентов, которую банк выплатит по окончанию срока хранения депозита:

     I = S – R×n

     I = 51207 – 33000 = 18207 (руб).

     Ответ: По окончанию срока хранения депозита банк выплатит сумму процентов равную 18207 руб. 

     Задача  №7

     На  взносы в пенсионный фонд, вносимые ежегодно в конце года, будут начисляться  сложные проценты по ставке 10% годовых. Определить размер взносов, необходимых  для накопления через 6 лет 50000 руб.

     Решение

     S = 50000 руб, n = 6 лет, i_c = 10%.

     Определим размер взносов, необходимых для  накопления через 6 лет 50000 руб:

     R = S*i/((1+i)ⁿ – 1)

     R = 50*0,1/1,1⁶ – 1 = 6480 (руб). Ответ: для накопления через 6 лет 50000 руб необходимо ежегодно в конце года вносить в пенсионный фонд сумму в размере 6480 руб, на которую будут начисляться сложные проценты по ставке 10% годовых. 

     Задача  №8

     В страховой фонд ежегодно в конце  года будут поступать одинаковые взносы по 1200 руб, на которые 4 раза в год в конце каждого периода будут начисляться проценты по номинальной годовой ставке 28%. Определить сумму, накопленную в фонде за 5 лет.

     Решение

     R = 1200 руб, n = 5 года, j₄ = 28%.

     Определим сумму, накопленную в фонде за 5 года:

     S = R × (((1+i/m)^nm)-1)/ (((1+i/m)^m)-1)

     S = 1200* ((1,07)²⁰ - 1)/(1,07⁴ – 1) = 11079,9 руб

     Ответ: За 5 лет ежегодных взносов в  конце года в страховой фонд в  размере 1200 руб, на которые 4 раза в год  в конце каждого периода будут  начисляться проценты по номинальной  годовой ставке 28%, накопиться сумма в размере 11079,9  руб. 

     Задача  №9

     Определить  размер взносов, необходимых для  накопления в фонде 32000 руб за 2 года. Взносы будут поступать в конце  каждого года, и на них 12 раз в  год будут начисляться проценты по номинальной ставке 60%.

     Решение

     S = 32000 руб, n=2 лет, j₁₂ = 60%.

     Определим размер взносов :

     R = S / (((1+i/m)^nm)-1)/ (((1+i/m)^m)-1) 

     R = 32000* ((1,05)¹²-1)/(1,05²⁴-1) = 11445,51 (руб).

     Ответ: Для того чтобы накопить в фонде 32000 руб за 2 года, необходимо в конце  каждого года делать взносы в размере 11445,51  руб, и на них 12 раз в год будут начисляться проценты по номинальной ставке 60%. 
 

     Задача  №10

     Определить  сумму, которую надо положить под  сложную годовую ставку 20% в банк, чтобы в течение 5 лет получать одинаковые выплаты в размере 3500 руб в конце каждого года.

     Решение

     R = 3500 руб, n = 5лет, i_c = 20%.

     Определим сумму к концу 5 года:   

     А = R×(1- (1+i)^-n)/i

     А = 3500*(1-1,2^-5)/0,2 = 10467(руб).

     Ответ: Для того чтобы получать в течение 5 лет одинаковые выплаты в размере 3500 руб в конце каждого года, необходимо положить под сложную годовую ставку 20% в банк сумму равную 10467 руб. 

     Задача  №11

     Разработать план погашения кредита объемом 20000 руб выплатами в конце каждого  года в течение 7 лет. Кредит взят под  годовую сложную процентную ставку 10%.

     Задачу  решить тремя способами погашения  кредита в рассрочку:

1. равными платежами общей суммы долга;
2. равными платежами основной суммы долга;
3. равными платежами в конце каждого полугодия по схеме потребительского кредита.

     Решение

     D = 20000 руб, n = 7 лет, i_c = 10%

     1. Погашение кредита в рассрочку  равными платежами общей суммы  долга:

     R = D*i/(1-(1+i)^-n)

     R = 20000*0.1/(1-1/1.1⁷) = 4.10813 руб

     Таким образом, план погашения кредита  объемом 20000 руб равными платежами  общей суммы долга в конце  каждого года в течение 7 лет будет  иметь вид:

     2. Погашение кредита в рассрочку  равными платежами основной суммы  долга:

     Определим сумму погашения долга в конце  каждого года:

     D = PV/N  ;  D = 20000/7 = 2857,143 (руб)

     Таким образом, план погашения кредита  объемом 20000 руб равными платежами  основной суммы долга в конце  каждого года в течение 7 лет будет  иметь вид: