Выделение тренда

Тренд (от англ. Trend — тенденция) — долговременная тенденция изменения исследуемого временного ряда. Тренды могут быть описаны различными уравнениями  — линейными, логарифмическими, степенными и т. д. Фактический тип тренда устанавливают на основе подбора  его функциональной модели статистическими методами либо сглаживанием исходного временного ряда.

Чтобы говорить о методах выделения тренда необходимо для начало понять, что такое тренд.  С научной точки зрения тренд  представляет собой некую общую тенденцию движения, имеющего разное направление. Существуют 3 вида трендов: восходящий, нисходящий, боковой. Как правило восходящий тренд на графике каждый последующий пик всегда превышает предыдущий; при нисходящем  тренде все спады на графике всегда ниже, чем предыдущие.

Существует 2 основных метода выделения тренда, к которым относятся параметрические и непараметрические.

Параметрические методы выделения  тренда отличается тем, что именно такой виды выделения трендов полезны, только для того, чтобы усреднять значения ряда  по отдельным точкам. Кроме этого, параметрические методы выделения тренда также анализируют временной ряд в качестве гладкой функции, после чего проводится оценка параметров функции. Но, существуют так называемые минусы таких методов выделения тренда. Это то, что параметрические методы не используются для осуществления прогнозов динамических рядов. Все это происходит по тому, что при расчетах не получается в явном виде необходимого уравнения.

Непараметрические методы выделения  тренда отличаются от параметрических тем, что данные методы представляют собой множество различных скользящих средних и непосредственный их расчет. Кроме этого непараметрические методы также используются для прогноза.

Выделение тренда

В формулах моделей рядов динамики (Y_t = T_t + S_t + e_t и Y_t = T_tS_t + e_t) фигурирует тренд T_t, такой тренд мы будем называть «точным».

В практических задачах выделить точный (вернее, «почти точный») тренд T_t может оказаться технически очень сложно (см. например, пункт [5] в списке литературы).

Поэтому мы будем рассматривать приближенные тренды. Самый простой способ получения  приближенного тренда — сглаживание  ряда методом скользящего среднего с периодом сглаживания равным максимальному  периоду сезонных колебаний. Сглаживание почти полностью устранит сезонные колебания и шум.

В рядах  с детализацией по месяцам сглаживание  нужно делать по 12-ти точкам (то есть по 12-ти месяцам). Формула скользящего  среднего с периодом сглаживания 12 месяцев:

Где M_t — значение скользящего среднего в точке t; Y_t — значение величины временного ряда в точке t.

Примечание. Очень редко, но все-же бывают динамики продаж, где длина полного период не только не равна году, но и «плавает». В таких случаях колебания, видимо, вызваны не сезонными изменениями, а какими-то другими, более мощными факторами.

Обратите  внимание: поскольку мы вычисляем  некоторый средний тренд за последние 12 месяцев, то в поведении приближенного тренда по сравнению с точным, происходит как бы запаздывание на 6 месяцев. Не смотря на то, что тренд, полученный методом скользящего среднего — это не точный, а приближенный (да еще и с запаздыванием), он вполне подходит для нашей задачи.

Прологарифмируем  уравнение мультипликативной модели, и если шум e_t не очень большой, то получим аддитивную модель.

Здесь ε_1;t также обозначает шум. Тренд мы выделим (скользящим средним за 12 месяцев) именно для такой преобразованной модели. На рисунке 3 — графики и показателя и тренда M_t.

 
Рис. 3. График прологарифмированной величины показателя и тренда М_и скользящего среднего по 12-ти месяцам. Слева на одном графике и величина и тренд. Справа — тренд в увеличенном масштабе. По оси X — номера периодов.

Примечание. Если темпы динамики небольшие, скажем, 10-15% в год, то и с мультипликативной моделью можно работать как с аддитивной (не логарифмирую).  
 
 
 

Одним из важнейших  понятий технического анализа является понятие тренда. Слово тренд —  калька с английского trend (тенденция). Однако точного определения тренда в техническом анализе не дается. И это не случайно. Дело в том, что тренд или тенденция временного ряда — это несколько условное понятие. Под трендом понимают закономерную, неслучайную составляющую временного ряда (обычно монотонную, т.е. либо возрастающую, либо убывающую), которая может быть вычислена по вполне определенному однозначному правилу. Тренд реального временного ряда часто связан с действием природных (например, физических) законов или каких-либо других объективных закономерностей. Однако, вообще говоря, нельзя однозначно разделить случайный процесс или временной ряд на регулярную часть (тренд) и колебательную часть (остаток). Поэтому обычно предполагают, что тренд — это некоторая функция или кривая достаточно простого вида (линейная, квадратичная и т.п.), описывающая «среднее поведение» ряда или процесса. Если оказывается, что выделение такого тренда упрощает исследование, то предположение о выбранной форме тренда считается допустимым. B техническом анализе обычно предполагается, что тренд линеен (и его график — прямая линия) или кусочно линеен (и тогда его график — ломаная линия).  

Предположим, что  реализация временного ряда в моменты  времени Т=t1, t2,...tN принимает значения X=x1,х2,...xN. Линейный тренд имеет уравнение x=at+b. Известны специальные методы нахождения коэффициентов а и b этого уравнения. В том техническом анализе, который описывается в большинстве книг, тренд находится некоторыми графическими или несложными приближенными приемами. Однако в современной практике широко используются компьютеры, которые за считанные секунды могут по заданному массиву данных выписать точное уравнения тренда заданного вида (в частности, линейного тренда).

Статистической  оценкой называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того чтобы  статистические оценки давали «хорошие»  приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям: оценка должна быть несмещенной, эффективной и состоятельной (свойства)

• Несмещенной называют статистическую оценку Q*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объеме выборки, т. е.         M(Q*) = Q.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

• Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую  возможную дисперсию.
• Состоятельной называют статистическую оценку, которая при п®¥ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при п®¥ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Различают 2 вида оценок: точечные и интервальные.

Рассмотрим  точечные оценки параметров распределения, т.е.  оценки, которые определяются одним числом Q* =f( x1, x2,…,xn), где x1, x2,…,xn- выборка.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами—концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок .

Доверительным называют интервал кот. Заданным надежностью                 покрывает заданный параметр. Т.е. чем выше доверительный уровень, тем шире доверительный интервал.