Экономический рост

1. Оценка тесноты связи между фактором и результативным показателем на основе корреляционного анализа. Осуществление проверки значимости линейного коэффициента корреляции

1. Оценка тесноты связи

Теснота связи между показателями количественно оценивается коэффициентом  корреляции r_xy. Рассчитаем линейный коэффициент корреляции по формуле:

где x_i, y_i – фактические значения x и y,

x, y – средние значения этих показателей.

Для этого создадим таблицу  для помощи при расчетах.

Таблица 1. Расчет сумм для определения линейного коэффициента корреляции

Год	xi	yi	xi -	yi -	(xi - )( yi - )	(xi - )2	(yi - )2
2005	774,1	18991	-642,12	-16563,67	10635806,43	412313,81	274355053,4
2006	1154,9	23298	-261,32	-12256,67	3202871,278	68286,40	150225877,8
2007	1345,2	29453	-71,02	-6101,667	433320,0278	5043,37	37230336,11
2008	1494,6	37091	78,38	1536,3333	120422,9278	6143,95	2360320,111
2009	1711,3	46360	295,08	10805,333	3188473,778	87074,17	116755228,4
2010	2017,2	58135	600,98	22580,333	13570403,99	361180,97	509871453,4
сумма	8497,3	213328			31151298,43	940042,67	1090798269
среднее	1416	35555

 

Вывод: а) т.к. r≠0, следует, что связь между исследуемыми показателями существует.

б) т.к. r>0, следовательно, связь между признаками прямая, т.е. с увеличением инвестиций в сельское хозяйство продукция сельского хозяйства возрастает.

в) т.к. r=0,972815 (≈1), то согласно критериям оценки тесноты связи связь сильная.

2.1.2. Проверка значимости

Значимость линейного  коэффициента корреляции проверяется но основе t-критерия Стьюдента путем сопоставления расчетного и табличного значений.

Выдвинем гипотезу H₀: при α=0,02 связь между показателями несущественная. (r=0)

Табличное значение t-критическое Стьюдента при α=0,02 и υ=n-2=4 будет равно:

t_α=3,747

Теперь рассчитаем t по формуле:

 

Вывод: гипотеза H₀ о незначимости коэффициента корреляции отвергается при уровне значимости α=0,02 и числа степеней свободы υ=n-2=4, т.к. t_р>t_α (8,401414>3,747), что соответствует области ΙΙ в диаграмме распределения Стьюдента. Зона ΙΙ – область маловероятности события r=0, следовательно, r≠0 и значим для всей генеральной совокупности – инвестиций в с/х и продукции с/х.

3. Расчет доверительных границ для коэффициента корреляции

Вероятность события γ  рассчитывается по формуле:

γ=1-α 

Следовательно, γ=0,98 (98%)

Тогда, t_γ=2,33 (по таблице нормального закона распределения)

Для значения r=0,972815 найдем Z’ (по таблице Z-преобразований Фишера)

Z’=2,0923

По формуле

найдем интервал для Z’.

2,0923 – 2,33 ≤ Z ≤ 2,0923 + 2,33

0,7471 ≤ Z ≤ 3,4375

По таблице Z-преобразований Фишера найдем границы для r

0,63 ≤ r ≤ 0,998

Вывод: с вероятностью γ=98% можно утверждать, что значение линейного  коэффициента корреляции лежит в  пределах от 0,63 до 0,998.

2. Определение параметров уравнения линейной регрессии.

1. Определение параметров

Для нахождения параметров линейной регрессии используем метод  наименьших квадратов. Этот метод позволяет  получить систему нормальных уравнений  для оценки параметров a и b.

Для решения данной системы  построим вспомогательную таблицу.

Таблица 2. Расчет сумм для  определения параметров a и b линейной регрессии

Год	xi	yi
2005	774,1	18991	599230,81	14700933,1
2006	1154,9	23298	1333794,01	26906860,2
2007	1345,2	29453	1809563,04	39620175,6
2008	1494,6	37091	2233829,16	55436208,6
2009	1711,3	46360	2928547,69	79335868
2010	2017,2	58135	4069095,84	117269922
сумма	8497,3	213328	12974060,55	333269967,5
среднее	1416	35555	2162343,425	-

 

Решим эту систему при  помощи матрицы.

Отсюда, параметры a и b будут равны соответственно:

Решением системы уравнений  являются a=995,73 и b=33,14. Следовательно, уравнение линейной регрессии будет иметь следующий вид:

2. Оценка значимости уравнения линейной регрессии

Для осуществления оценки существенности линейной регрессии  необходимо определить коэффициент  детерминации по формуле:

Для этого заполним вспомогательную  таблицу:

Таблица 3. Расчет сумм для  определения коэффициента детерминации

Года			( )2		( )2
2005	14277,5	-21277,5	452731836	-16564	274366096
2006	26897,22	-8657,78	74957223,79	-12257	150234049
2007	33203,76	-2351,24	5528338,943	-6102	37234404
2008	38154,87	2599,874	6759344,816	1536	2359296
2009	45336,31	9781,312	95674064,44	10805	116748025
2010	55473,84	19918,84	396760107,3	22580	509856400
сумма			1032410915		1090798270
среднее

 

Вывод: значение коэффициента детерминации В близко к 1, следовательно полученное уравнение линейной регрессии хорошо описывает существующую зависимость данных переменных (инвестиции в основной капитал сельского хозяйства и продукция сельского хозяйства). Изменение валового выпуска продукции сельского хозяйства на 94,6% обусловлено изменениями инвестиций в основной капитал сельского хозяйства, а на 5,4% прочих случайных факторов.

Корреляционное поле и  уравнение линейной регрессии представлено в Приложении 1.

3. Определение тренда для факторного признака

1. Расчет параметров уравнений

Предположим, что уравнением тренда будет являться прямая, квадратичная парабола или показательная функция.

а) расчет параметров уравнения  тренда для линейной функции вида           

Параметры и определяются методом наименьших квадратов

Таблица 4. Расчет сумм для  определения параметров уравнения

1	774,1	1	774,1
2	1154,9	4	2309,8
3	1345,2	9	4035,6
4	1494,6	16	5978,4
5	1711,3	25	8556,5
6	2017,2	36	12103,2
сумма  21	8497,3	91	33757,6

 

 

Решением системы уравнений  являются следующие значения и .

Уравнение линейного тренда имеет вид 

Рассчитаем показатель рассеивания  Q для линейного тренда по формуле:

Заполним вспомогательную  таблицу.

Таблица 5. Расчет сумм для  определения коэффициента рассеивания  Q₁

t		t	t	t)2
1	774,1	3906,3	-3132,2	9810676,84
2	1154,9	4135,85	-2980,95	8886062,903
3	1345,2	4365,4	-3020,2	9121608,04
4	1494,6	4594,95	-3100,35	9612170,123
5	1711,3	4824,5	-3113,2	9692014,24
6	2017,2	5054,05	-3036,85	9222457,923
сумма 21				56344990,07

Q₁=56344990,07

б) расчет параметров a и b для показательной функции вида по формуле

Для определения параметров a и b заполним таблицу.

Таблица 6. Расчет сумм для  определения параметров a и b функции

1	774,1	1	2,889	2,889
2	1154,9	4	3,063	6,125
3	1345,2	9	3,129	9,386
4	1494,6	16	3,175	12,698
5	1711,3	25	3,233	16,167
6	2017,2	36	3,305	19,828
сумма 21	8497,3	91	18,793	67,093