Задачи по "Системному анализу"

Индивидуальные  задания.

Вариант 2 – Задание 8.

Дано:

Нефтяная  компания «РТ» для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания  дизельного топлива, которое она  производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют «РТ» две химические компании А и В. В табл. 2.8 приведено содержание химических добавок в каждом продукте, поставляемом указанными компаниями.

 

Таблица 2.8

Продукт	Химические  добавки, мг/л
	X	У	Z
А  В	4  5	2  1	3  1

 

 

Стоимость продукта А – 1,50 ф. ст. за 1 л, а продукта В – 3,00 ф. ст. за 1 л. Требуется найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.

Решение:

Решим данную задачу с помощью программы Microsoft Excel, применяя функцию «Поиск решения».

Для начала зададим  в программе исходные данные:

Т. к. нам необходимо минимизировать стоимость добавленных химикатов то наша целевая таблица и целевая функция будут выглядеть следующим образом.

Компания	X	Y	Z	Всего добавки
А	20	7	9	36
В	20	7	9	36
Итого:	40	14	18	72

При этом значения X, Y и Z в данном случае произвольные, так как это параметры подлежащие изменению в ходе решения.

 

Так же необходимо учесть заданные в условии ограничения:

Объем добавки
X	40,00	>=	40
Y	14,00	>=	14
Z	18,00	>=	18

 

 

Далее, выделим  целевую функцию:

Как мы знаем  из условия задачи цены продукции А и Б равна 1,5 и 3 соответственно, и объем двигателя равен 1000 литров.

=(E2*1,5+E3*3)*1000

Е2 – объем  продукции А;

Е3 – объем  продукции Б.

Теперь, с помощью  аналитической функции «Поиск решения» найдем решение задачи.

 

 

 

 

Измененная таблица будет иметь следующий вид:

Компания	X	Y	Z	Всего добавки
А	35	13	17	65
В	5	1	1	7
Итого:	40	14	18	72

 

А целевая функция  иметь значение – 118500 ф. ст.

Таким образом  минимальные затраты компании будут  составлять 118500 ф. ст.

 

Вариант 4 – Задание 17.

 

Дано:

 

Компания  «Orange Computer» производит только один вид продукции – матричные печатающие устройства, которые в настоящее время являются дефицитом. Четыре основных покупателя – это крупные специализированные компьютерные универмаги, расположенные в Аббатстауне, Бесвиче, Карлике и Денстоуне, уже подали заявки, общий размер которых превышает общие производственные мощности трех заводов компании в Рексфорде, Сидоне и Тристроне. Компания должна принять решение о том, как распределить производственные мощности, чтобы получить максимальную прибыль. После того, как каждый принтер тщательно упакован в мягкую упаковку, предохраняющую его от каких-либо повреждений, его помещают в отдельную коробку. В табл. 2.17 приведены значения стоимости транспортировки одной единицы от каждого завода-производителя в каждый специализированный универмаг (ф. ст.):

Таблица 2.17

	«Аббатстаун»	«Бесвич»	«Карлик»	«Денстоун»
Рексфорд   Сидон   Тристрон	22  24  26	24  20  20	22  18  26	30  28  24

 

 

Поскольку все  четыре специализированных универмага расположены в различных частях страны и, следовательно, стоимость транспортировки продукции между заводами-производителями и универмагами различна, а также ввиду некоторых различий в издержках производства каждого из четырех заводов, существующая структура цен предусматривает возможность установления различных цен для каждого из четырех универмагов. В настоящее время установлены следующие цены за единицу продукции: 230 ф. ст. в Аббатстауне, 235 ф. ст. в Бесвиче, 225 ф. ст. в Карлике и 240 ф. ст. в Денстоуне. Издержки производства на единицу продукции составляют 150 ф. ст. на заводах в Рексфорде и Тристроне и 155 ф. ст. на заводе в Сидоне.

Требуется сформировать матрицу, состоящую из входящих в  прибыль единичных доходов, соответствующих  каждой паре перевозок с заводов-производителей в универмаги.

Значения спроса в Аббатстауне, Бесвиче, Карлике  и Денстоуне равны 850, 640, 380 и 230 единицам соответственно. Производственные мощности позволяют производить на заводе в Рексфорде 625, в Сидоне – 825, а в Тристроне – 450 принтеров. Используя алгоритм решения транспортной задачи, определить оптимальное распределение перевозок. Определить соответствующую оптимальному решению прибыль.

 

 

 

 

 

 

Решение:

Применим функцию  «Поиск решения» для решения задачи в программе “MS Excel”.

Для начала зададим  в программе исходные данные:

 

 

0	0	0	0	0	200
0	0	0	0	0	625
0	0	0	0	0	825
0	0	0	0	0	450
0	0	0	0	0
850	640	380	230

 

При этом в нулевых  ячейках впоследствии будет указано оптимальное распределение данной задачи. При этом общая сумма по строкам и столбцам не должна превышать указанных значений. Зададим это ограничениями в функции «Поиск решения» в программе MS Excel. Следует также отметить, что первая строка обозначает фиктивного поставщика, т. к. наблюдается нехватка продукции от поставщиков.

При этом целевая  функция будет иметь вид:

СУММПРОИЗВ(B1:E4;B9:E12)

Где ячейки В1:Е4 – характеризуют цены на транспортировку,

Ячейки В9:Е12 – количество поставляемой продукции.

Далее, найдем решение функции:

С помощью функции MS Excel “Поиск решения”, введем следующие параметры, отражающие ограничения и целевую функцию.

 

Нажав «Найти решение» получим следующий результат:

0	0	0	200	200	200
625	0	0	0	625	625
225	220	380	0	825	825
0	420	0	30	450	450
850	640	380	230	39510
850	640	380	230

 

Данная таблица  отражает оптимальное распределение  поставок для компании «Orange Computer». При этом Город Денстоун получит лишь 30 единиц товара, т.к. 200 единиц фиктивного поставщика не включаются в окончательную поставку.

Значение целевой  функции равно 39510 что соответствует  максимальной прибыли компании при  минимальных затратах.

 

Вариант 7 – Задание 7.

Фирма «Уют»  обеспечивает своим клиентам помощь в дизайне дома или офиса. В  нормальном режиме каждый час прибывает в среднем 2,5 клиента. Единственный консультант по дизайну отвечает на вопросы клиента и дает необходимые рекомендации. Он тратит на каждого посетителя в среднем 10 мин. Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности обслуживания, определите: ·  среднее время, которое клиент проводит в очереди; ·  среднюю длину очереди; ·  среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания; ·  среднее число клиентов в системе обслуживания; ·  вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой. Желательно, чтобы  прибывающий клиент не ждал своей  очереди в среднем более 5 мин. Соответствует ли реальная ситуация данному пожеланию? Если нет, то что  необходимо предпринять? Предположим, что  консультант способен уменьшить  среднее время, которое он проводит с клиентом, до 8 мин. Какой стала  средняя скорость обслуживания? Достигнута ли цель теперь?

 

Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели В с постоянным темпом обслуживания значения величин Lq, Wq, Ls и Ws меньше, чем соответствующие значения в модели A, имеющей переменный темп обслуживания. В литературе по теории очередей модель В имеет техническое наименование M/D/1. Формулы для описания модели В   с постоянным временем обслуживания M/D/1 Средняя длина очереди: . Среднее время ожидания в очереди: . Среднее число клиентов в системе: . Среднее время ожидания в системе: .

Контрольный пример 2

Компания  «Утиль» собирает и утилизирует  в Мытищах алюминиевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющие сырье для вторичной переработки, ожидают в очереди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 60 тыс. руб. в час. Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом 12 машин в час (5 мин на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассоновскому закону с параметром z=8 в час. Если  будет использоваться новый компактор, то амортизационные затраты составят 3 тыс. руб. на один контейнеровоз. Фирма пригласила студента, который провел следующий анализ, для оценки целесообразности использования компактора: Затраты в настоящее время: (1/4 ч ожидания)×(60 тыс. руб./ч)=-15 тыс. руб./поездка. Новая система: z=8 автомобилей/ч прибывают; b=12 автомобилей/ч обслуживается. Среднее время ожидания в очереди: . Затраты с новым компактором: (1/12 ч ожидания)×(60 тыс. руб./ч)=  =5 тыс. руб./поездка. Доход при новом оборудовании: 15 (существующая система)–5 (новая система)=10 тыс. руб./поездка. Амортизационные затраты: 3 тыс. руб./поездка. Чистый доход: 7 тыс. руб./поездка.