Сложный процент и приведенная стоимость

Эссе №5

На тему:

«Сложный процент  и приведенная стоимость»

 

Изучение теории сложного процента и приведенной стоимости является важной составляющей того, как инвестор расценит вложение своих денежных средств в проект. При проведении расчета этих двух показателей можно заранее оценить выгодность вложений, что полезно не только инвестору, но и каждому обывателю.

 

Сложные проценты

 

Представьте, что в 25 лет  вы начали делать ежегодные взносы в наличных деньгах в размере 1000 долл. на сберегательный счет, по которому выплачивается 5% годовых. Через 40 лет, т.е. в 65 лет, вы бы сформировали депозит с общей суммой 40000 долл. (40 лет х 1000 долл. в год). Исходя из предположения, что вы не изымали с него денег, каков, как вы думаете, был бы итог: 50000, 75000 или 100000 долл.? Ни один из перечисленных ответов не верен, поскольку ваши 40000 долл. возросли бы приблизительно до 121000 долл.! Почему? Потому что стоимость денег во времени позволила накопить на этом депозите за 40 лет сложные проценты. Стоимость денег во времени связана с тем, что до тех пор, пока существуют альтернативные возможности получения дохода, стоимость денег зависит от того момента времени, когда предполагается их получение.

Поскольку существует возможность  получения процентов на денежные средства, постольку, чем скорее поступает доход от данного инвестиционного инструмента, тем лучше. Например, два вида инвестиций, каждый из которых составляет 1000 долл. и по каждому из которых ожидается доход за период владения в два года в сумме 100 долл., будут не обязательно в равной мере привлекательны. Предполагая базовую стоимость каждого вида инвестирования в 1000 долл., мы обнаружим, что если доходы от инвестирования первого вида составляют 100 долл. уже к концу первого года, то доходы от инвестирования второго вида составляют тоже 100 долл., но только к концу второго года, следовательно, первый вид инвестирования будет предпочтительнее. Это так, потому что полученная сумма процентов в 100 долл. от инвестиций первого вида могла бы быть реинвестирована для получения более высокого процента, в то время как на инвестиции второго вида все еще начисляются первоначальные 100 долл.

Таким образом, при принятии инвестиционных решений следует  учитывать концепцию стоимости  денег во времени.

Стоимость денег во времени  — это принцип, согласно которому до тех пор, пока существуют альтернативные возможности получения дохода, стоимость денег зависит от того момента времени, когда ожидается их получение.

Проценты — основной доход лиц, делающих сбережения. Сберегательный счет, открытый в финансовом институте, — одна из основных форм инвестирования. Лицо, делающее сбережения, получает проценты в обмен на размещение на счете свободных средств. Получаемый доход — это, несомненно, текущий доход; но лицо, делающее сбережения, не получит прироста капитала, не понесет убытков, поскольку стоимость инвестиций (первоначальный вклад) изменяется только на величину полученных процентов. Для делающего сбережения лица проценты, полученные в течение данного периода, являются текущим доходом за этот период. Другими словами, совокупный доход проистекает из текущего дохода, полученного в виде процентов.

Простые проценты — это проценты, начисляемые на фактическую сумму за фактический период нахождения ее на депозите. Доход, уплачиваемый на такие объекты, как депозитные сертификаты, облигации и другие формы инвестирования, по которым выплачиваются проценты, наиболее часто вычисляется с использованием метода простых процентов. Проценты выплачиваются только на фактический остаток за то время, когда эта сумма действительно находится на депозите.

Поподробнее остановимся  на изучении сложных процентов.

Сложные проценты — это проценты, начисляемые не только на первоначальную сумму вклада, но также и на всю сумму процентов, накопленную за определенный период. Сложные проценты выплачиваются не только на первоначальную сумму вклада, но также на некоторую сумму процентов, накопленную от одного периода до другого. Этот метод часто используется сберегательными организациями.

Непрерывное начисление процентов — это метод вычисления процентов, при котором проценты реинвестируются за самые короткие из возможных промежутки времени; приводит к получению максимальной нормы доходности при данной объявленной ставке процента.

Джон Мейнард Кейнс  называл это магией. Говорят, что один из Ротшильдов провозгласил это восьмым чудом света. Сегодня люди продолжают превозносить их чудодейственность.

Объект их восхищения — сложные проценты — предмет, который приводит в замешательство одних и поражает воображение  других.

И все же понимание сложных процентов может помочь людям вычислить доход от сбережений и инвестиций так же, как и цену займа. Эти вычисления применимы почти к любому финансовому решению — от реинвестирования дивидендов до покупки облигации с нулевым купоном для индивидуального пенсионного счета.

Проще говоря, сложные  проценты — это начисление «процентов на проценты». Проценты, начисленные  по истечении определенного периода, например года, добавляются к основной сумме и включаются в ту сумму, на которую в следующий период будут начисляться проценты.

Ричард П. Бриф, профессор  бизнеса Нью-Йоркского университета, считает, что «вычисление [сложных  процентов] должно быть понятно большинству  людей».

Метод сложных процентов  интриговал людей всегда. В начале прошлого века английский астроном Фрэнсис Бейли подсчитал, что британский пенс, инвестированный под 5% годовых на условиях сложных процентов в год рождения Христа, принес бы к 1810 г. столько золота, что его хватило бы для заполнения 357 млн. земных шаров. Бенджамин Франклин был более практичен. После своей смерти в 1790 г. он оставил по 1000 фунтов двум городам — Бостону и Филадельфии с условием, что они не будут трогать эти деньги в течение 100 лет. Наследство Бостона, эквивалентное примерно 4600 долл., к 1890 г. увеличилось до 332000 долл.

Но делающим сбережения лицам и инвесторам не нужно жить до 100 лет, чтобы получить выгоды.

Рассмотрим инвестирование с текущей стоимостью в 10000 долл., на которые ежегодно начисляется 8%. После первого года размер их возрастет  до 10800 долл. (1,08 х 10000). После второго года они будут стоить 11664 долл. (1,08 х 10800). Еще через три года сумма возрастет до 14693 долл. Такая же концепция применима к потребительским кредитам. Ссуда в 10000 долл. под 8 сложных процентов, начисляемых раз в год, будет оцениваться в 14693 долл. (сумма, которую необходимо возвратить) через 5 лет.

Инвесторы и делающие сбережения лица могут также использовать упрощенное эмпирическое правило для  определения того, как долго нужно  ждать удвоения суммы денег при  данной процентной ставке с начислением процентов раз в год: разделите 72 на ставку процента. Например, инвестиции в 10000 долл., приносящие доход в 8% в год, удвоились бы через 9 лет (72:8).

Но следовало бы знать, что инфляция тоже развивается по принципу сложного процента. Пока инфляция не исчезнет, эти планируемые 20000 долл. через 9 лет будут стоить несколько меньше, чем они стоят теперь.

Когда проценты выплачиваются  ежегодно, вычисления по методу сложных  и простых процентов приведут к одинаковому результату; в этом случае объявленная ставка процента и действительная ставка будут равны. Данные табл. 1 могут быть использованы для иллюстрации метода вычисления сложных процентов. В этом случае процентный доход, получаемый каждый год, остается на депозите, а не изымается. 50 долл., полученных с 1000 долл. в виде процентов за 1989 г., становятся частью остатка, на который выплачиваются проценты в 1990 г., и т.д.

Следует обратить внимание на то, что в процессе вычисления сложных процентов используется и метод простых процентов, т.е. проценты рассчитываются только на фактическую сумму за фактический период, в течение которого она находилась на депозите.

 

Таблица 1

Данные об остатках сберегательного  счета (при годовом начислении и  реинвестировании по ставке 5%)

Дата	(1) Вклад (или изъятие) (в  долл.)	(2) Остаток на счете на начало периода (в долл.)	(3) Проценты за год (в  долл.)	(4) (2+З) Остаток на счете на конец  периода (в долл.)
1 янв. 1989 г.	1000	1000,00	50,00	1050,00
1 янв. 1990 г.	(300)	750,00	37,50	787,50
1 янв. 1991 г.	1000	1787,50	89,38	1876,88

 

Таблица 2

Данные об остатках сберегательного  счета (при полугодовом начислении и реинвестировании по ставке 5%)

Дата	(1) Вклад (или изъятие) (в  долл.)	(2) Остаток на счете на начало периода (в долл.)	(3) Проценты за год (в долл.)	(4) (2)+(3) Остаток на счете на конец  периода (в долл.)
1 янв. 1989 г.	1000	1000,00	25,00	1025,00
7 янв. 1989г.		1025,00	25,63	1050,63
1 янв. 1990 г.	(300)	750,63	18,77	769,40
7 янв. 1990г.		769,40	19,24	788,64
1 янв. 1991 г.	1000	1788,64	44,72	1833,36
7 янв. 1991 г.		1833,36	45,83	1879,19

 

Когда используется метод  сложных процентов, объявленная  и действительная ставки процента равны  только в том случае, если процент  выплачивается один раз в год. В общем, чем чаще выплачиваются проценты по объявленной ставке, тем выше будет действительная ставка процента. Вычисления процентов на основе данных о вкладах из табл. 1 включены в табл. 2; здесь предполагается, что проценты начисляются каждые полгода (дважды в год). Сумма процентов за каждый шестимесячный период находится умножением остатка за 6 месяцев на половину установленной ставки в 5% (см. столбец 3 табл. 2).

Сравнивая остаток на счете на конец 1991 г. в 1876,88 долл., подсчитанный в табл. 1 при норме в 5% с ежегодным  начислением, с остатком на счете на конец 1991 г. в 1879,19 долл., подсчитанным в табл. 2 при норме в 5% с начислением раз в полгода, мы можем обнаружить, что более высокие доходы связаны с тем, что проценты начисляются чаще. Ясно, что в случае начисления процентов раз в полгода действительная ставка процента выше, чем 5% при начислении раз в год. Используя технику, которая в данном тексте не рассматривается, мы получим действительную ставку процента на вклады из табл. 2 в 5,063%. Сводка действительных ставок процента, связанных с объявленной 5%-й ставкой и различными периодами начисления (число процентных периодов), представлена в табл. 3.

Таблица 3

Действительная ставка процента для периодов начисления разной продолжительности (при объявленной  ставке 5%)

Период начисления процентов	Действительная ставка процента
Ежегодно	5,000
Каждые полгода	5,063
Ежеквартально	5,094
Ежемесячно	5,120
Еженедельно	5,125
Непрерывно	5,127

 

Непрерывное начисление процентов, которое представляет собой  начисление в течение самого короткого  из возможных промежутка времени, позволяет получить максимальную норму доходности при данной объявленной ставке процента. Из табл. 3 очевидно, что, чем чаще начисляется процент, тем выше действительная ставка. Из-за того влияния, которое оказывает на доход разница в продолжительности периодов начисления процентов, инвестору следовало бы оценивать действительную ставку процента, связанную с различными альтернативами, до того, как сделать выбор.

Приведенная стоимость

 

Приведенная стоимость  — оборотная сторона будущей стоимости. Приведенная стоимость вместо измерения стоимости текущей суммы в какой-то момент в будущем позволяет определить, сколько будущая сумма денег стоит сегодня. Используя технику приведенной стоимости, можно подсчитать сегодняшнюю стоимость той суммы, полученной в будущем. При определении приведенной стоимости будущей суммы денег основным вопросом является такой: сколько денег следовало бы поместить сегодня на счет, по которому выплачивается n процентов, чтобы приравнять их к некой сумме, которая будет получена в будущем? Применяемая при нахождении приведенной стоимости ставка процента обычно называется ставкой дисконта (или альтернативными издержками). Она представляет собой ежегодную ставку доходности, которую можно было бы получить теперь от аналогичного инвестирования. Основные вычисления приведенной стоимости лучше всего иллюстрируются простым примером. Представьте, что у вас появилась возможность получить 1000 долл. ровно через год начиная с сегодняшнего дня. Если бы вы могли получить 8% на аналогичные типы инвестиций, какую наибольшую возможную сумму денег вы заплатили бы за эту возможность? Другими словами, какова приведенная стоимость 1000 долл., которые должны быть получены через год, дисконтированных по ставке 8%? Пусть X— приведенная стоимость. Чтобы описать этот случай, используется следующее равенство: Х*(1+0,08) = 1000 долл.

Решая уравнения для  Х, получим: Х = 1000/(1+0,08) = 925,93 долл.

Из этих вычислений должно быть ясно, что приведенная стоимость 1000 долл., которые будут получены через год и дисконтированы по ставке 8%, составляет 925,93 долл. Другими словами, 925,93 долл., размещенные на счете, по которому выплачивается 8%, возрастут до 1000 долл. в течение года. Чтобы проверить это заключение, умножим фактор наращения будущей стоимости для 8% и одного года, или 1,08 (см. табл. 4), на 925,93 долл. Эта сумма принесет будущую стоимость в 1000 долл. (1,08 х 925,93).

Поскольку вычисления приведенной  стоимости сумм, которые будут  получены в отдаленном будущем, более  сложны, чем для вложений на год, в этом случае рекомендуется использовать таблицы приведенной стоимости. В качестве иллюстрации в табл. 6 в тексте приведена их часть. Факторы дисконтирования в таких таблицах представляют собой приведенную стоимость 1 долл., рассчитанную для различных комбинаций периодов и ставок дисконтирования. Например, приведенная стоимость 1 долл., который предполагается получить через год и дисконтированный по ставке 8%, составляет 0,926 долл. На основе этого фактора (0,926) приведенная стоимость 1000 долл., которую предполагается получить через год при ставке 8% дисконта, может быть найдена умножением этого фактора на 1000 долл. Результирующая приведенная стоимость в 926 долл. (0,926 х 1000) соответствует стоимости, подсчитанной ранее. Другой пример поможет понять, как используются таблицы приведенной стоимости. Приведенная стоимость 500 долл., которые предполагается получить через 7 лет, дисконтированных по ставке 6%, может быть подсчитана следующим образом: Приведенная стоимость = 0,665 х 500 = 332,50 долл.