Парная регрессия. Линейные и нелинейные модели регрессии

                          Федеральное агентство по образованию

                  Государственное образовательное  учреждение

                      высшего профессионального образования

          Тамбовский государственный университет  им. Г.Р. Державина 

                                  Академия экономики и управления 

                                       Работа по эконометрике

                                                      по теме:

         «Парная регрессия. Линейные и  нелинейные модели регрессии»

                                                    Вариант 14 
 
 

                                                                         Выполнил: студент 301 группы

                                                                        Ануфриев И.В.

                                                                        Проверила: Горбунова О.Н. 

                                          

                                          Тамбов 2011

     Задание: среди данных, представленных в таблице, определите вид зависимости (если она  существует). Для ее описания подберите  наиболее адекватную модель.

     Объем промышленной продукции и выбросы загрязняющих веществ в атмосферу по сельским районом области.

Район	Объем промышленной продукции (млрд.руб.)	Выбросы загрязняющих веществ (тыс.тонн)	Район	Объем промышленной продукции (млрд.руб.)	Выбросы загрязняющих веществ (тыс.тонн)
1	75	0,02	10	84	0,02
2	70	0,02	11	65	1,68
3	70	1,7	12	82	1,21
4	117	0,9	13	26	0,06
5	78	0,2	14	51	0,13
6	67	0,22	15	64	0,15
7	83	0,77	16	64	0,09
8	87	0,34	17	59	0,13
9	84	0,89	18	77	0,38

 

     Предположим, что связь между объемом промышленной продукции и выбросами загрязняющих веществ в атмосферу линейная. При этом будем считать объем продукции как фактор, а выбросы в атмосферу – как результат. Для подтверждения нашего предположения постоим поле корреляции.

     

     Для нахождения параметров линейной регрессии  и дальнейших вычислений составим таблицу.

	x	y	x2	y2	xy			( )2	A,%
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	75	0,02	5625	0,0004	1,5	0,519	-0,499	0,2490	24,95
2	70	0,02	4900	0,0004	1,4	0,474	-0,454	0,2061	22,70
3	70	1,7	4900	2,89	119	0,474	1,226	1,5031	0,72
4	117	0,9	13689	0,81	105,3	0,897	0,003	0,0000	0,00
5	78	0,2	6084	0,04	15,6	0,546	-0,346	0,1197	1,73
6	67	0,22	4489	0,0484	14,74	0,447	-0,227	0,0515	1,03
7	83	0,77	6889	0,5929	63,91	0,591	0,179	0,0320	0,23
8	87	0,34	7569	0,1156	29,58	0,627	-0,287	0,0824	0,84
9	84	0,89	7056	0,7921	74,76	0,6	0,29	0,0841	0,33
10	84	0,02	7056	0,0004	1,68	0,6	-0,58	0,3364	29,00
11	65	1,68	4225	2,8224	109,2	0,429	1,251	1,5650	0,74
12	82	1,21	6724	1,4641	99,22	0,582	0,628	0,3944	0,52
13	26	0,06	676	0,0036	1,56	0,078	-0,018	0,0003	0,30
14	51	0,13	2601	0,0169	6,63	0,303	-0,173	0,0299	1,33
15	64	0,15	4096	0,0225	9,6	0,42	-0,27	0,0729	1,80
16	64	0,09	4096	0,0081	5,76	0,42	-0,33	0,1089	3,67
17	59	0,13	3481	0,0169	7,67	0,375	-0,245	0,0600	1,88
18	77	0,38	5929	0,1444	29,26	0,537	-0,157	0,0246	0,41
Итого	1303	8,91	100085	9,7891	696,37	8,919	-0,009	4,9205	92,1976
Ср	72,38889	0,495	5560,278	0,543839	38,68722	0,4955	-	0,2734	5,1221
σ	320,111	0,55	-	-	-	-	-	-	-
σ2	17,89	0,2988	-	-	-	-	-	-	-

 

     Рассчитаем  параметры линейного уравнения  парной регрессии  . Для этого построим систему:

      ó ó

     ó ó

     Получили  уравнение:

     Т.е. с каждым увеличением объема продукции на млрд. руб. количество загрязняющих веществ увеличится на 9 тонн.

     Уравнение линейной регрессии всегда дополняется  показателем тесноты связи –  линейным коэффициентом корреляции r_xy: 
 

      =

     Показатель  коэффициента корреляции, равному ≈0,3 по шкале Чеддока указывает на умеренную линейную связь между признаками.

     Коэффициент детерминации r²_xy = 0,086 показывает, что уравнением регрессии объясняется 8,6% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится 91,4%.

     Оценим  качество уравнения регрессии в  целом с помощью F-критерия Фишера. Вычислим фактическое значение F-критерия:

      = .

     Табличное значение (k₁=1, k₂=n-2=16, α=0,05)

     F_табл = 4.49

     Для оценки статистической значимости коэффициентов  регрессии и корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

      ==0,3075 => S_ост =0,5545

      = =0,007,

       

      .

     Фактические значения t-статистик: 
 
 

     Полученное  фактическое значение t_b сравнивается с табличным значением t-критерия Стьюдента, которое с учетом принятого уровня значимости α=0,05 (для вероятности 0,95) и числа степеней свободы v=n-2=16, t_табл=2.1190. t_табл> t_факт, поэтому различия между рассматриваемыми показателями корреляции существенны.

     Средняя ошибка аппроксимации

     Теперь  на одном графике изобразим исходные данные и линию регрессии: