Моделирование системы электронных платежей

      В некоторых   задачах оказывается даже, что принципу максимума удовлетворяет лишь конечное число управлений, среди которых уже нетрудно найти оптимальное. Полное доказательство принципа максимума было опубликовано в 1961 году Л.С.Понтрягиным и его учениками в книге "Математическая теория оптимальных процессов". Применение принципа максимума сразу же позволило решить многие интересные инженерные задачи оптимального управления, а в других задачах существенно приблизиться к нахождению оптимального управления. Не случайно, что уже в 1962 году книга Д.С.Понтрягина и его учеников была отмечена Ленинской премией. 

      4. Достаточные условия оптимальности. Во многих задачах 
однако, хотя необходимые условия оптимальности и позволяют 
сузить класс управлений, подозрительных на оптимальность, все 
же этот класс остается достаточно широким. Отобрать действительно оптимальное управление в этом классе позволяют достаточные условия оптимальности. Если некоторое управление из 
этого класса удовлетворяет достаточным условиям оптимальности, 
то гарантируется его оптимальность. Конечно, может случиться, 
что достаточным условиям удовлетворяет не одно управление, а 
несколько управлений. Тем самим гарантируется, что все они оптимальны, т.е. функционал качества принимает на всех этих управлениях одинаковое значение.

      5. Единственность оптимального управления. С точки зрения 
инженеров очень важно знать, является ли оптимальное управление единственным. Если оно единственно, то в конкретных управляемых объектах реализация единственного оптимального управления   может оказаться существенно проще. Поэтому вопрос о единственности оптимального управления также входит в число  
основных вопросов математической теории оптимального управления.

      Конечно, мы здесь перечислили не все вопросы, которые могут возникнуть при решении задачи оптимального управления, а только основные. Естественно, что эти вопросы могут исследоваться для конкретного управляемого объекта не обязательно в той последовательности, в какой они здесь приведены. Например, если сначала установлено, что оптимальное управление существует, и найдено единственное допустимое управление     , переводящее объект из начального множества         в конечное множество  и удовлетворяющее необходимым условиям оптимальности, то   тем самым гарантируется, что это управление оптимально.

      Итак, мы сформулировали общую постановку задачи оптимального управления и разобрали некоторые основные вопросы, возникающие при решении этой задачи. В нашем курсе мы будем изучать математическую теорию для» простейшей задачи оптимального управления.

     Динамика  объекта в этой задаче будет описываться  системой линейных дифференциальных   уравнений

                     (6)

где есть n-мерный вектор фазового состояния объекта,   и есть также   n-мерный вектор управления, а – постоянная квадратная матрица размерности .  Зная некоторую допустимую функцию управления и начальное состояние объекта , мы сможем получить единственную функцию вектора фазового состояния объекта как решение дифференциального уравнения (6). Класс допустимых управлений  мы определим позднее, когда уже будет заготовлен некоторый вспомогательный математический аппарат. Начальное и конечное состояния объекта мы будем выбирать как элемента некоторых непустых и компактных подмножеств и  соответственно из    n-мерного фазового пространства. Критерием качества будет служить время перехода из множества в множество , т.е.

. 

      Такой критерий качества получается из критерия качества (4), когда подынтегральная функция     .

      Итак, мы пришли к постановке линейной задачи быстродействия. Эта задача заключается  в нахождении такого допустимого  управления и соответствующего ему решения уравнения (6), переводящего объект из начального множества в конечное множество   за минимальное время. Пример такой задачи дан выше в примере 2.

      Первая  часть курса посвящена изучению вспомогательного математического аппарата. Мы подробно изучим такие понятия, как   опорные функции, многозначные отображения, интегралы от многозначных отображений и т.д. Эти понятия находят широкое применение и в других разделах математики, мы же с их помощью исследуем основные вопросы математической теории оптимального управления на примере линейной задачи быстродействия.