Контрольная работа по "Эконометрике"

Коэффициент детерминации, как и коэффициент корреляции, можно рассматривать как меру качества уравнения регрессии. Чем ближе R²  к 1, тем лучше регрессия описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменными.

Для степенной зависимости:

Коэффициент детерминации:

R² =1-Σ(y-ŷ)²/Σ(y-y_ср)²=0,824

Определим индекс корреляции:

r=корень(R²)=0,908

Для гиперболической  зависимости:

Индекс корреляции: r=корень(R²) =0,894

Коэффициент детерминации:

R²=1- Σ(y-ŷ)²/Σ(y-y_ср) ²=0,7998

Вывод: показатели детерминации для всех моделей являются значимыми. 

Дадим с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора х с результатом у, показывающий, на сколько % изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %.

  Для степенной  зависимости:

Э_хср = 0,879%.

С увеличением  х на 1% y увеличивается на 0,879%

Для гиперболической  зависимости:

Э_хср = 0,94%

С увеличением  х на 1% y увеличивается на 0,94%.

Вывод: наибольшую силу связи  фактора x  с результатом y  показывает коэффициент эластичности для гиперболической модели. 

Оценим  с помощью средней  ошибки аппроксимации  качество уравнений.

Для степенной зависимости:

Средняя относительная  ошибка:

*100% =7,359%

В среднем расчетные  значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 7,359%.

Для гиперболической  зависимости:

Средняя относительная  ошибка:

*100% =7,693%

В среднем расчетные  значения для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 7,693%.

Вывод: наименьшая ошибка аппроксимации является ошибка для степенной  модели, следовательно, данное уравнения имеют наилучшее качество.

Таблица 1. Итоги  по пунктам 4-6:

Вывод: По результатам вычислений видим что наилучшая модель в данном случае степенная.

Экономическая интерпретация результатов: Коэффициент  корреляции равен 0,908, что говорит  о тесной прямой связи. Коэффициент детерминации равен 0,824, что говорит о том, что вариация У на 82,4% объясняется вариацией Х. Анализируя коэффициент эластичности видим, что с увеличением х на 1% y увеличивается на 0,879%. В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 7,359%.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора  увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный  интервал прогноза для  уровня значимости .

x_расч.= 1,1*x_ср= 659,14

y_расч.= a+ x_расч.^b = 316,78

Δx = S_x*t_кр= 159,27.

Доверительный интервал для x: 472,68< x < 791,21.

Δy=S_y*t_кр=248,74.

Доверительный интервал для y: 172,04< y < 669,51. 

 

Задание 3. Моделирование временных рядов

Имеются данные о разрешениях на строительство нового частного жилья, выданных США в 1990-1994 гг., % к уровню 1987 г.

      Задания:

1. Постройте график данного временного ряда. Охарактеризуйте структуру этого ряда.

2. Рассчитайте сезонную компоненты временного ряда и постройте его аддитивную модель. Постройте график построенного ряда.

3. Рассчитайте трендовую компоненту временного ряда и постройте его график

4. Оцените качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения.

 

Решение

1. Постройте график данного временного ряда. Охарактеризуйте структуру этого ряда.

     График  временно ряда имеет убывающую структуру, что говорит о снижение рассматриваемого фактора в течении года.

     Построим  график данного временного ряда. Анализ графика позволяет сделать вывод  о наличии в изучаемом временном  ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

2. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и, разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрирование скользящие средние. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними.

Таблица 1

Расчет  оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

     Для каждого месяца мы имеем оценки сезонной компоненты, которые включают в себя ошибку или остаток. Прежде чем мы сможем использовать сезонную компоненту, нужно пройти два следующих этапа. Найдем средние значения сезонных оценок для каждого сезона года. Эта процедура позволит уменьшить некоторые значения ошибок. Наконец, скорректируем средние значения, увеличивая или уменьшая их на одно и то же число таким образом, чтобы общая их сумма была равна нулю. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компоненты в целом за год. Корректирующий фактор рассчитывается следующим образом: сумма оценок сезонных компонент делится на 4. В последнем столбце табл. 1 эти оценки записаны под соответствующими месячными значениями:

 
 

3. Рассчитайте трендовую компоненту временного ряда и постройте его график

4. Оцените качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения.

Последний столбец этой таблицы можно использовать в шаге 4 при расчете среднего абсолютного отклонения (MAD) или средней  квадратической ошибки (MSE):

Средняя абсолютная ошибка достаточно мала и составляет примерно 5%, а вот средне квадратическое отклонение очень высоко. Что говорит о низком качестве построенной модели.