Издержки предприятия, их виды и состав

В нашем анализе технологии производства мы показали, что предельная норма технического замещения (MRTS) труда капиталом равняется угловому коэффициенту изо-кванты, взятому с обратным знаком, и равна соотношению предельных продуктов труда и капитала:

MRTS = — DK/DL = MP_L/MP_K. (7.4)

Выше мы отмечали, что  изокоста имеет наклон DК/DL = — w/r. Из этого следует, что когда фирма минимизирует издержки производства при некотором объеме выпуска, выполняется следующее условие:

МР_ь/МРк = w/r. Перепишем его в другой форме:

MP_L/w = МРк/г. (7.5)

Уравнение (7.5) показывает, что  при минимальных издержках каждый дополнительный доллар затрат на производственные факторы добавляет одинаковое количество выпускаемой продукции. Предположим, например, что ставка зарплаты составляет 10 долл., а арендная плата за капитал  — 2 долл. Если фирма использует производственные факторы так, что предельный продукт  труда и предельный продукт капитала равны 10, ей будет выгоднее нанимать меньше рабочих и «арендовать» больше капитала, потому что капитал в 5 раз дешевле труда. Фирма может  минимизировать свои издержки только тогда, когда затраты на производство дополнительной единицы продукции одни и те же независимо от того, какой дополнительный фактор производства используется.

 

 

Комбинация ресурсов минимизирующая издержки при фиксированном объеме выпуска

Для случая долговременного  промежутка (LR) рассмотрим задачу глобальной минимизации издержек при фиксированном объеме выпускаемой продукции:

 (4,22)

При условии, что

 (4,23)

Геометрически решение задачи (4.22), (4.23) (рис. 4.9) аналогично решению  задачи (4.7), (4.10). В случае задачи (4.22), (4.23) следует передаться по изокостам на «юго-запад» (ибо имеем задачу минимизации) до тех пор, пока они продолжают иметь общие точки с изоквантой, соответствующей фиксированному объему  . Ясно, что решением задачи минимизации издержек будет общая точка ( ,  ) изокосты и фиксированной изокванты  . Эта точка касания зависит от объема   поэтому и написано: ( ,  ). Если объем у изменится, то изменится и точка ( ,  ). Множество точек ( , ), соответствующих различным объемам   выпускаемой продукции, образуют линию L (см. рис. 4.9), которая, очевидно, совпадает с линией L (см. рис. 4.6).

Решим задачу (4.22), (4.23) формально  с помощью функции Лагранжа:

Для функции Лагранжа выписываем условия первого порядка:

Или в развернутом виде

Критическая точка ( , , ) функции Лагранжа — это точка, удовлетворяющая системе (4.24). Если   производственная функция, удовлетворяющая условиям гладкости и выпуклости, то критическая точка ( , , ), взятая без последней координаты  , т. е. точка ( , ), и есть Решение задачи(4.22), (4.23)

Глобальной минимизации  издержек при данном фиксированном  объеме выпуска  . Подставив координаты точки ( , , ) в первые два уравнения системы (4.24), получим два тождества:

 (4,25)

Которые в компактной векторной форме можно переписать так:

 (4,26)

Равенство (4.26) означает, что  в точке   градиент   и вектор   цен  , и   на ресурсы коллинеарные, откуда следует, что в точке   изокванта и изокоста     касаются (рис. 4.10).

Координаты  , , а тачке   и   являются функциями всех параметров  ,  ,   задачи (4.22), (4.23), т. е.

Функции  ,   называются Функциями условного спроса (по Хиксу) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Функции условного спроса (по Хиксу) называют также функциями компенсированного спроса со стороны фирмы на ресурсы. Функция   называется Условными издержками фирмы. Выражение   является значением задачи (4.22), (4.23). Множитель Лагранжа   является скорее относительно большой величиной («слоном») в связи с тем, что длина градиента   скорее много меньше длины вектора цен 

Функции  ,   условного спроса (по Хиксу) однородны нулевой степени по переменным   и   а функция   условных издержек однородна первой степени по переменным   и  .

Действительно, задача глобальной минимизации (4.22), (4.23)

Имеет решение   и  , задача глобальной минимизации  при наличии ограничения (4.23) Имеет решение   и  . Однако эти две задачи глобальной минимизации эквивалентны, ибо вторая получается из первой умножением целевой функции   на число  . Поэтому  =  

и  = . Однородность первой степени функции   условных издержек очевидна:

Если положить  , то для задачи глобальной максимизации прибыли

Условия первого порядка (4.1) приобретают вид:

Откуда, принимая во внимание равенства   эти условия первого порядка следует переписать так:

Этой системе уравнений  удовлетворяют   и  , (см. равенства (4.25)). Следовательно, решение  ,   представляет собой локальное рыночное равновесие фирмы при  , т. е. решение   задачи (4.22), (4.23) условной глобальной минимизации совпадает с решением   задачи глобальной максимизации прибыли, если цена p0 выпускаемой фирмой продукции равна 

Таким образом, предложена естественная экономическая интерпретация множителя  Лагранжа  .

В параграфе 4.2 в точке  локального рыночного равновесия   был определен объем выпуска  . Если в ограничении (4.23) положить   то несложно показать, что  ,  , а также   т. е. множитель Лагранжа  Равен рыночной цене  Единицы выпускаемой продукции.

Имея выражение  , выпишем в явном виде представление прибыли   в случае долговременного промежутка как функции объемов у выпускаемой продукции:

Выражение   играет важную роль в макроэкономике. Полезно сравнить это выражение с выражением для прибыли фирмы в терминах объемов х1 и х2, затрачиваемых (используемых) ресурсов в случае долговременного промежутка (см. параграф 4.1).

Пусть   — решение и значение задачи глобальной минимизации (4.22), (4.23).

Положим в задаче глобальной максимизации (4.7), (4.11) С = С, топа, очевидно,  ,  , и   (рис.4.11).

Пусть ,  ,   решение и значение задачи глобальной максимизации (4.7), (4.11).

Положим в задаче глобальной максимизации (4.22), (4.23)   , тогда, очевидно,  ,   и   (рис.4.12).

Таким образом, наблюдается  взаимозависимость задач (4.7), (4.11) и (4.22), (4.23).

Задача глобальной минимизации  издержек производства при фиксированном  объеме   выпускаемой продукции для случая краткосрочного промежутка, когда фиксирован объем   первого ресурса, имеет вид (  играет роль параметра):

 (4,27)

При условии, что

 (4,28)

Ограничимся наглядным геометрическим решением задачи (4.27), (4.28) (рис. 4.13).

Имеет место важный результат  теории фирмы: при одном и том  же объеме   выпускаемой продукции издержки производства С0 для случая долговременного промежутка меньше (точнее, не больше) издержек производства   для случая краткосрочного промежутка. Эти издержки производства равны друг другу, если объем   производства будет таким, что 

Для долговременного промежутка кратко рассмотрим общий случай N>2.

Задача (4.22), (4.23) глобальной минимизации издержек фирмы при  фиксированном объеме ее выпуска  в общем случае имеет вид:

 (4.29)

При наличии ограничения

. (4.30)

Для функции Лагранжа

(4.31)

Задачи (4.29), (4.30) на условный (локальный) экстремум условия первого  порядка имеют вид:

 

Или в развернутом виде

   (4.32)

Для производственной функции  , удовлетворяющей условиям гладкости и выпуклости, критическая точка   функции Лагранжа, взятая без последней координаты, т. е. точка  , есть точка глобального условного минимума функции (4.29) при наличии ограничения (4.30).

Критическая точка   функции Лагранжа является решением системы уравнений (4.32), поэтому при подстановке ее в эти уравнения она обращает их в тождества:

Которые в компактной векторной форме имеют вид:

 

Откуда следует, что в  точке   изокванта выпуска   изокоста (  - мерная плоскость условных минимальных издержек) касаются.

Функции   являются функциями условного спроса (по X иксу) со стороны фирмы на рынках ресурсов. Функция

Представляет собой минимальные  условные издержки фирмы.

Как и в случае  , все функции   являются однородными нулевой степени по всем переменным  , а минимальные условные издержки фирмы   являются однородной функцией первой степени по переменным  .

Как и в случае  , множитель Лагранжа   является скорее относительно большой величиной (слоном»).