Интегральное исчисление в экономике

     3.5 Интегральное исчисление  в экономике 

     В курсе микроэкономики часто рассматривают  так называемы предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией у =f(x), рассматривают ее производную f'x. Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С = С(q), то предельные издержки будут задаваться производной этой функции МС = С'(q). Ее экономический смысл - это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функцию издержек по данной функции предельных издержек.[6]

     Пример. Дана функция предельных издержек МС = Зq² – 48q + 202, 1 ≤ q ≤ 20. Найти функцию издержек С = С(q) и вычислить издержки в случае производства 10 единиц товара, если известно, что издержки для производства первой единицы товара составили 50 руб.[4]

     Решение. Функцию издержек находим интегрированием:

     C(q ) = ,

     где константа Со находится из данного  условия С( 1) = 50, так что С₀ = 50, поскольку интеграл обращается в нуль. Интегрируя, получим функцию издержек

     C(q) = q .

     Подставляя  q = 10 в полученную формулу, находим искомое значение

     С(10) = 670.

     Еще одним примером приложения определенного  интеграла является нахождение  дисконтированной стоимости денежного потока.

     Допустим  вначале, что для каждого дискретного  момента времени t = 1, 2, 3, ... задана величина денежного потока R((t). Если ставку процента обозначить через р, то дисконтированную стоимость каждой из величин R(1), R(2), R(3), ... найдем по известным формулам:

     R(1)(1 + p) , R(2)(1 + p) , R(3)(1 + p) , … .

     Тогда дисконтированную стоимость денежного  потока найдем, суммируя эти величины:

     П = ,

     где п - общее число периодов времени.

     В непрерывной модели время изменяется непрерывно, т.е. для каждого момента  времени 0 ≤ t ≤ Т, где [0, T] - рассматриваемый период времени, задана величина I(t) - скорость изменения денежного потока (т.е. величина денежного потока за промежуток времени от t до t + dt приближенно равна I(t)dt. Для получения величины П изменим формулу П = .А именно, знак суммирования заменим на знак определенного интеграла, формулы вычисления дисконтированной стоимости в дискретном случае заменим на их непрерывный аналог, и тогда формула П = , примет следующий вид:

     П = .

     Пример. Под строительство гидроэлектростанции задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t) = -t² +20t +5  (млрд руб./год) в течение 20 лет с годовой процентной ставкой р = 5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. [4]

     Решение. По формуле П = имеем

     П = .

     Чтобы вычислить этот интеграл, выполним сначала замену переменной:

     s = -0,05t,  t = -20s,  dt = -20ds.

     При этом новые пределы интегрирования получаются подстановкой старых пределов в формулу замены: s = 0, s   = -1. Имеем

     -

     П = -20 (- 400s² – 400s + 5)e = 20 (- 400s² – 400s +5)e ds.

     К последнему интегралу применим формулу  интегрирования по частям, полагая и = -400s - 400s + 5, dи = (-800s - 400)ds, dv = e ds, v= е . Поэтому

     П = 20 ((-400s² - 400s + 5)е + е (800s + 400)ds .

     В первом слагаемом подставим пределы  интегрирования, а ко второму слагаемому еще раз применим формулу интегрирования по частям, полагая и = 800s + 400, dи = 800ds. Имеем

     П = 20 (5 – 5e + (800s + 400)e 800e ds) =

     = 20(5 - 5е - 1 +400 + (800 - 400)e   - 1 - 800 + 800е - 1) =

      = 20(1195е- 1 -395).

     Окончательно  получим П = 892 (млрд руб.).

     Далее рассмотрим некоторую модель экономического роста, предложенную Е.Д. Домаром. Основные допущения этой моде сформулированы ниже.

     1 . Всякое изменение величины скорости  денежного потока I(t) влияет как на совокупный спрос, так и на изменение объема производства.

     2. Скорость изменения величины  спроса Y(t) пропорциональна производной скорости денежного потока с коэффициентом пропорциональности K = 1/s, где s - предельная величина накопления. Это предположение можно записать в виде уравнения

     3 Экономический потенциал к (т.е. величина стоимости това-которые можно произвести) пропорционален объему оборот-' средств К с  коэффициентом   пропорциональности  р,  k = рК. Дифференцируя по t, получим

      .

     В модели Домара предполагается, что  весь экономический потенциал полностью используется, иными словами, У =  к. Дифференцируя по t, получим

      .

     Подставляя    и   в , имеем

      = pI, .

     Чтобы найти функцию I(t) из уравнения = pI, , проинтегрируем обе части последнего равенства по t от 0 до t. Получим

      , или ln|I(t)| = pst ,

     Откуда  ln|I| = ln|I(0)| + pst. Потенцируя последнее равенство, получим окончательное выражение для I(t):

     I(t) = I(0)e ,

     где I(0) – это скорость денежного потока в начальный момент времени.

     Таким образом, для того чтобы поддерживать равновесие между объемом производимых благ и совокупным спросом на них, скорость денежного потока должна расти с экспоненциальной скоростью согласно формуле

     I(t) = I(0)e