[ т.е.   x_к =  x_к1 + x_к2 + …+ x_{к n}   + y_к  =  x_1к + x_2к + … + x_{n к}   + z_к ] .

б) Общий итог второго раздела равен общему итогу третьего раздела:

             [ т.е.   y₁ + y₂ + … + y_n  =  z₁ + z₂ + … + z_n  ] . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 2. СТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

 

      Экономико-математическая модель статического межотраслевого баланса исходит из следующих основных предпосылок:

а) объёмы производственного потребления  прямо пропорциональны  объёмам производства продукции потребляющих отраслей; коэффициентами пропорциональности являются коэффициенты прямых затрат, которые для межотраслевого баланса в денежном выражении определяются так:

a_ij = x_ij / x_j  ;

следовательно,

x_ij = a_ij x_j ;

б) каждый продукт  производится только одной отраслью.

      При помощи коэффициентов прямых затрат система уравнений межотраслевого баланса  (1) может быть записана так:

    [ т.е.   x_i = a_i1 x₁ + a_{i 2} x₂ + … + a_{i n} x_n   + y_i ] ,   i = 1,2, …, n ;

или в матричной  форме

x = Ax + y  .

Решение этой системы  относительно неизвестных значений объёмов производства продукции (x_i) при заданном векторе конечного продукта (y_i)   таково:

x = (E – A)^–1 y ,

где  (E – A)^–1 – матрица коэффициентов полных затрат.

      Полные  затраты – это характеристика непосредственного и косвенного потребления продукции отрасли для выпуска конечного продукта.

      Основой для расчёта полных затрат являются коэффициенты прямых затрат.

      Элемент b_ij матрицы B = (E – A)^–1  характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски отраслей  x_i  в виде функции планируемых значений  y_j конечных продуктов отраслей:

    [ т.е.  x_i = b_i1 y₁ + b_i2 y₂ + … + b_in y_n ] .

      Коэффициенты  полных затрат отражают всё многообразие и сложные косвенные связи, возникающие  в процессе общественного воспроизводства.

      Можно показать, что 

B = (E – A)^–1 = E + A  +  A² + A³ + … + A^к + …,

где A – матрица прямых затрат; коэффициент a_ij   показывает расход продукта i непосредственно при производстве единицы продукции вида j.

С₁ = A²  – матрица косвенных затрат 1-го порядка, т.е. коэффициент c_ij       ( ) показывает расход продукта i на производство тех видов продукции, которые непосредственно расходуются при производстве единицы продукции отрасли j.

С₂ = A³  – матрица косвенных затрат 2-го порядка,  и т.д.

      Т.е. коэффициент полных затрат b_ij – это (при i¹j) сумма прямых и косвенных затрат продукта i на производство единицы продукции вида j.

      Коэффициент  t_j  полных затрат трудовых ресурсов всех отраслей  на единицу конечного продукта отрасли j  рассчитывается так:

или в матричной  форме

(t_j)^T = (t_i)^T B

где t_i – коэффициент прямых затрат трудовых ресурсов на единицу продукции отрасли i. 
 
 
 
 

     ГЛАВА 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ ТИПА "ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК"

     В процессе совершенствования и усложнения модели «затраты—выпуск» был создан динамический вариант системы, учитывавший  технический прогресс, перестройку промышленности, изменения ценовых пропорций. Модель была переведена на гибкие коэффициенты. Эта работа оказалась весьма успешной еще и потому, что параллельно с научным поиском совершенствовалось компьютерное обеспечение.

     В отличие от статических динамическая модель призвана отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ на основе экономико-математической модели к реальным условиям развития экономической системы.

     В рассматриваемой ниже динамической модели производственные капитальные  вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуется их структура  и влияние на рост объёма производства. В основе построения модели в виде динамической системы уравнений лежит математическая зависимость между величиной капитальных вложений и приростом продукции. Решение системы, как и в случае статической модели приводит к определению уровней производства, но в динамическом варианте в отличие от статистического эти искомые уровни зависят от объёмов производства в предшествующих периодах.

     Модель  содержит две матрицы межотраслевых  потоков. Матрица текущих производственных затрат с элементами xij совпадает с соответствующей матрицей статистического баланса. Элементы второй матрицы ∆Фij показывают, какое количество продукции i-той отрасли направлено в текущем периоде в j-ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в её основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др.

     Для сравнения, в статистическом балансе  потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной в составе конечной продукции Yi каждой i-той отрасли. В динамической схеме конечный продукт Yi включает продукцию i-той отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, незавершённого строительства, на экспорт. Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статистического баланса:

     ∑∆Фij + Yi’= Yi

     поэтому уравнение распределения продукции  вида (1.2) преобразуется в динамическом балансе в следующее:

     Xi =∑xij +∑∆Фij + Yi’ i=1…n (3.1)

     Межотраслевые потоки текущих затрат выражают как  и в статической модели через  валовую продукцию отраслей с  помощью коэффициентов прямых материальных затрат:

     xij = aijXj

     полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать:

     ∆Фij =φij∆Xj i,j =1…n (3.2)

     φij – коэффициенты пропорциональности, экономический смысл их заключается в том, что они показывают, какое количество продукции i-той отрасли должно быть вложено в j-тую отрасль для увеличения производственной мощности j-той отрасли на единицу продукции. Предполагается, что производственные мощности используются полностью и прирост продукции равен приросту мощности. Коэффициенты φij называются коэффициентами вложений, или коэффициентами приростной фондоёмкости.

     Они образуют квадратную матрицу n-го порядка:

      ||φ11 φ12 … φ1n ||

      ||φ21 φ22 … φ2n ||

     (φij) =

      || . . … . ||

      ||φn1 φn2 … φnn ||

     Эта матрица коэффициентов приростной фондоёмкости даёт значительный материал для экономического анализа и планирования капитальных вложений.

     Далее, с помощью коэффициентов прямых материальных затрат и коэффициентов  вложений φij систему уравнений (3.1) можно представить в следующем виде:

     Xi = ∑aijXj + ∑φij∆Xj + Yi’ i=1…n (3.3)

     Учитывая, что все объёмы валовой и конечной продукции относятся к некоторому периоду t, а прирост валовой продукции определён в сравнении с (t-1)-м периодом:

     Xi(t) = ∑aijXj(t) + ∑φij(Xj(t) – Xj(t-1)) + Yi’(t)

     Отсюда  можно записать следующие соотношения:

     Xi(t) = ∑(aij+ φij) Xj(t) - ∑φij Xj(t-1) + Yi’(t) , i=1…n (3.4)

     Пусть нам известны уровни валовой продукции  всех отраслей в предыдущем периоде (величины Xj(t-1) и конечный продукт отраслей в t-м периоде. Тогда соотношения (3.4) представляют собой систему n линейных уравнений с n неизвестными уровнями производства t-го периода.

     Таким образом, решение динамической системы  линейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем  периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений φij, характеризующие фондоёмкость единицы прироста продукции.

     Эти более сложные по своему экономическому содержанию выводы из анализа динамической модели В. Леонтьева были опубликованы в форме дифференциальных уравнений в СССР в 1958 г. книге «Исследование структуры американской экономики».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     Итак, можно сделать следующие краткие  выводы по данной работе:

     1. Аналитический метод «затраты  выпуск» наполнил практическим  содержанием теорию общего экономического равновесия, он способствовал усовершенствованию математического аппарата. Так динамическая модель Леонтьева раскрыла несостоятельность статичной математической модели одного из основоположников неоклассической экономической школы Л Вальраса.

     2. Метод Леонтьева отличает ясность и простота, универсальность и глобальность, другими словами пригодность для экономики отдельных стран и регионов, для мирового хозяйства в целом.

     По  мнению В. Леонтьева, межотраслевой  анализ может служить основным инструментом стратегического планирования.

     3. В настоящее время в национальной  экономике существуют и продолжают  возникать сложные проблемы, требующие  межотраслевых обоснований. Использование  же метода “затраты–выпуск”  межотраслевого баланса позволяет  не только изучить взаимозависимость между различными отраслями экономики, проявляющуюся во взаимовлиянии цен, объемов производства, капиталовложений и доходов, но и решать следующие задачи:

- прогноз  основных макроэкономических показателей  (выпуск валового и конечного  продукта, чистая продукция, материальные затраты, производственное потребление продукции и др. в разрезе отраслей материального производства) в зависимости от изменения как внешних, так и внутренних факторов; - прогноз оптовых цен продукции отраслей материального производства, уровня инфляции, стоимости потребительской корзины; - прогноз уровня безработицы; - прогноз экологической обстановки и оценка затрат на проведение природоохранных мероприятий; - оценка эффективности конкретных предложений по размещению производительных сил; - оценка эффективности межтерриториальных экономических связей; - и многих других. Таким образом, на основе моделей В. Леонтьева может быть разработан комплекс моделей функционирования экономики с целью определения рациональных стратегий управления социально-экономическим развитием региона и страны в целом.