Изучение зависимости доходов телефонных компаний

Регрессионный анализ — статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y(доход телефонной компании) и одной или несколькими независимыми переменными x₁, x₂, …, x_р (факторы влияющие на доход). Независимые переменные иначе называют регрессорами или объясняющими переменными, а зависимые переменные —результатом.

Множественная регрессия - уравнение связи с  несколькими независимыми переменными:

             (1)

где у  - зависимая переменная (моделирующий показатель);

x₁, x₂, …, x_р - независимые переменные (факторы).

Основная  цель множественной регрессии построить  модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого  из них в отдельности, а так  же совокупное их воздействие на моделирующий показатель.

Корреляционный  анализ представляет собой статистический метод выявления взаимозависимостей между несколькими признаками. Он позволяет установить сам факт существования связи в отличие от регрессионного анализа, когда находится математическая функция, ее определяющая.

Не ко всем данным можно применить подобную процедуру. Используемые для анализа наблюдения должны быть случайно выбранными из нормально  распределенной генеральной совокупности.

Чтобы более детально определить влияние независимых переменных на результатирующий признак, а так же определить какие именно факторы влияют на доходность телефонных компаний и в какой степени, проведем регрессионный и корреляционный анализ.

§ 2 Набор параметров и их описание

 

Как было сказано ранее  на показатель дохода, влияет множество  факторов, как внутренних, так и  внешних. Однако, включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано прежде всего с представлением взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями.

Рассмотрим  практическим путем  факторы, влияющие на доход  такие как: число основных телефонных аппаратов, число междугородних таксофонов, число переговорных пунктов, доходы и расходы населения.

Факторы, включаемые во множественную  регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

1. должны быть количественно измеримы;
2. не должны быть интеркоррелируемы или находится в функциональной зависимости;
3. в одну модель нельзя включать совокупный фактор и образующий его частные факторы, что может привести к неоправданному увеличенному влиянию на результат;
4. количество факторов в модели не должно превышать 1/3 числа наблюдений.

Отбор факторов осуществляется на 2 стадиях:

1. подбираются факторы исходя из сущности рассматриваемой проблемы;
2. на основе матрицы показателей корреляции, определяют t – статистику для параметров регрессии.

На основе рассматриваемой  темы были подобранны данные, представленные с 1996 по 2009 года и выборка, т.е. n равно 14, табл.1. Все указанные данные количественно измеримы, что удовлетворяет первому требованию по включению факторов в модель.

Таблица 1

Исследуемые факторы модели зависимости доходов телефонных компаний

Года	Доходы телефонных компаний, тыс. руб.	Число основных телефонных аппаратов, шт.	Число междугородних таксафонов, шт.	Число переговорных пунктов, шт.	Доход, тыс. руб.	Расход, тыс. руб.
1996	323,3	111200	651	11	62,3	63,3
1997	4627,4	112900	553	11	143,1	143,7
1998	6110	114400	533	11	223,6	222,8
1999	12299	120900	531	11	337,7	338,5
2000	45556,9	123000	538	20	771,7	772,5
2001	55942,3	134800	552	20	1300,5	1306,5
2002	72123,7	137200	492	21	1753,4	1754
2003	106470,3	140900	520	21	2128,5	2126,6
2004	158310,3	150000	323	17	3249,2	3258,9
2005	215997,2	161100	255	24	4829	4826,5
2006	291368,9	173100	291	3	5868,3	5867,7
2007	382515,1	183000	258	3	8158,6	8159,4
2008	449051	188400	161	12	8094,8	8097
2009	454103,7	193200	163	11	7773,5	7772,6

 

Одним из наиболее значимых требований к факторам, является тот факт, что  факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в  функциональной связи. Исходя из этого, рассчитаем коэффициенты интеркорреляции (т.е. корреляции между объясняющими переменными), что позволит исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарные, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если      .    (2)

Рассмотрим матрицу коэффициентов  корреляции - зависимость доходов  телефонных компаний (Y)  от следующих факторов: число основных телефонных аппаратов (Х1), число междугородних таксофонов (Х2), число переговорных пунктов (Х3), доходы (Х4) и расходы (Х5) населения (Рис.1).

 

Рис.1 «Матрица коэффициентов корреляции - зависимость доходов телефонных компаний»

 

По величине парных коэффициентов  корреляции обнаружена явная корреляция таких факторов как: число основных телефонных аппаратов и число междугородних таксофонов, число основных телефонных аппаратов и доходы населения, число основных телефонных аппаратов и расходы населения, число междугородних таксофонов и доходы населения, число междугородних таксофонов и расходы населения, дохода и расходы населения. Корреляция между выше перечисленными факторами превышает  0,75, что показывает  высокое влияние факторов друг на друга. Такая довольно высокая корреляция говорит о функциональной зависимости факторов, другими словами нельзя определить их изолированное влияние на результативный признак – доход телефонных компаний, и тем самым параметру уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.

Если в модель будут включены факторы с высокой интеркорреляцией, когда R_y,x1<R_x1,x2 для зависимости у = a + b₁*x₁ + b₂*x₂ + E , то тогда это может привести к нежелательным последствиям, а именно система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии.

Объем выборки позволяет  включить 4 фактора. Проведя  эконометрический  анализ данных, наблюдаем мультиколлинеарности факторов. Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Стремление  определителя матрицы межфакторной корреляции к нулю  говорит о сильной мультиколлинеарности факторов и ненадежности результатов множественной регрессии. Для устранения мультиколлинеарности исключении из модели одного или нескольких факторов. Главным образом рекомендуется исключить тот фактор, который имеет не достаточно тесную связь с результативным показателем (Y) и наибольшую тесноту связи с другими факторами (Х1, Х2, Х3, Х4, Х5).  Такими факторами, являются число междугородних таксофонов (Х2), доходы (Х4) и расходы (Х5)населения.

 Исходя из вышесказанного, оставляем в модели два фактора, которые отвечают требованиям включения факторов в модель, а так же корреляция между которыми не превышает 0,7. Таким образом, в модель входят факторы: число основных телефонных аппаратов (Х1) и число переговорных пунктов (Х3) (Рис.2).

 Рис.2 «Матрица коэффициентов  корреляции факторов, отвечающим  требованиям включения в модель»

 

§ 3 Выбор модели

 

Существуют различные виды моделей  уравнения регрессии. Рассмотрим наиболее распространенные: линейная, степенная, показательная. Для выбора одной наиболее лучшей, необходимо произвести полную оценку модели, а именно рассчитать параметры уравнений, оцените тесноту связи для каждого уравнения, оценить значимость коэффициентов регрессий, оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. При этом учитывать следующие табличные значения F_таб. = 2,5655 и t_таб. = 2,1448, а так же а=0,05.

Линейная модель.

Линейная модель уравнения  множественной регрессии имеет  вид:

у = -611857+ 5,528* х1 -2447,06* х2

Исследуя данную модель можно  говорить о тесной связи между  признаками, что подтверждается коэффициентом  корреляции, который равен 0,9876.  Квадрат  коэффициента корреляции, является коэффициентом  детерминации и равен 0,9754, что говорит  о том, что уравнением регрессии объясняется 97,54% дисперсии результативного признака, а на долю других факторов приходится лишь 2,46%. Для оценки качества модели в целом был высчитан F - критерия Фишера равный 217,7031. Сравнивая  F_таб. и F_фак. делаем вывод, что уравнение значимо в целом и параметры a, b1, b2 не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующих факторов  х1, х2, так как F_таб. <  F_фак.

t – критерий для R (корреляция) равен -12,23, t – критерий для параметра а равен -12,2346, для b1 равен 19,417, для b2 равен -1,9506, t таб. = 2,5655. Так как tb1 > tтаб., tа, tb2 и tr < tтаб., то признаем статистическую незначимость параметров регрессии и показателя тесноты связи.

Степенная модель.

Степенная модель уравнения множественной регрессии имеет вид:

у = 3,2418E-50+ х1^10,38 + х2^0,66

Исследуя данную модель можно  говорить о тесной связи между  признаками, что подтверждается коэффициентом  корреляции, который равен 0,9123. Квадрат коэффициента корреляции, является коэффициентом детерминации и равен 0,8324, что говорит о том, что уравнением регрессии объясняется 83,24% дисперсии результативного признака, а на долю других факторов приходится лишь 6,76%. Для оценки качества модели в целом был высчитан F - критерия Фишера равный 27,3046. Сравнивая F_таб. и F_фак. можно сделать вывод, что уравнение значимо в целом и  параметры a, b1, b2 не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующих факторов  х1, х2, так как F_таб. <  F_фак.

t – критерий для R (корреляция) равен -6,602, t – критерий для параметра а равен -6,602, для b1 равен 7,3085, для b2 равен 1,5576, t таб. = 2,5655. Так как tb1 > tтаб., tа, tb2 < tтаб., tr < tтаб., то признаем статистическую незначимость параметров регрессии и показателя тесноты связи.

Показательная модель.

Показательная модель уравнения множественной регрессии имеет вид:

у = 0,60638+ 1,00007^х1 + 1,0996^х2

Исследуя данную модель можно  говорить о тесной связи между  признаками, что подтверждается коэффициентом  корреляции, который равен 0,9113. Квадрат коэффициента корреляции, является коэффициентом детерминации и равен 0,8304, что говорит о том, что уравнением регрессии объясняется 83,04% дисперсии результативного признака, а на долю других факторов приходится лишь 6,96%. Для оценки качества модели в целом был высчитан F - критерия Фишера равный 26,9289. Сравнивая F_таб. и F_фак. Можно сделать вывод, что уравнение значимо в целом и параметры a, b1, b2 не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующих факторов  х1, х2, так как F_таб. <  F_фак.

 t – критерий для R (корреляция) равен -0,3030, t – критерий для параметра  а равен -0,3030, для b1 равен 7,334, для b2 равен 2,2926, t таб. = 2,5655. Так как tb1 > tтаб., tа, tb2 < tтаб., tr < tтаб., то признаем статистическую незначимость параметров регрессии и показателя тесноты связи.

Проведя исследования по трем моделям: линейной модели уравнения  регрессии, показательной модели уравнения  регрессии и степенной модели уравнения регрессии делам вывод  о не значимости моделей в целом. Ни одна из рассмотренных моделей  не является статистически значимой, так как не смотря на то что индекс корреляции и индекс детерминации высокие, но оценка значимости  индекса корреляции меньше табличного это говорит о том, что индекс корреляции является не значимым ни в оной модели. Это может быть связано с тем, что возможно существуют другие факторы, которые дали лучшие результаты по индексу корреляции и по критерию Стьюдента. Например, такие нерассмотренные факторы как: количество людей использующие для общения социальные сети, количество минут использующиеся на переговоры и так далее. Или другая причина – данный случай похож на случай в индуктивной статистике. Критерий Стьюдента в этом случае может быть низок из-за небольшого объема выборки. Если бы кроме небольшого числа выборки можно было бы говорить о не нормальном распределении показателя, то в таких случаях можно воспользоваться непараметрическим статистическим критерием - U-критерий Манна-Уитни, используемым для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно.

 

Заключение