Оптимизация плана производства автоматизированным способом

Содержание

Введение

1 Понятие задачи оптимизации плана производства

1.1 Постановка и математическая модель задачи

1.2 Методы решения

1.3 Генетический Алгоритм

2 Практическое решение задачи

2.1 Экономико-математическая модель задачи

2.2 Решение задачи с применением Matlab

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

Введение

Эффективность производственной деятельности предприятия определяется способом производства и его эффективностью. Существуют различные направления повышения эффективности производства одним из наиболее важных является научно-технический прогресс. Естественно, что при внедрении новых технологий на предприятии снизятся затраты на производство единицы товара и через экономию возрастет прибыль и эффективность.

Стремясь увеличить выручку, отдел продаж старается принять в производство максимальное количество заказов, зачастую даже с минимальной рентабельностью. В ситуации, когда производственные мощности предприятия ограниченны, такая политика продаж неизбежно ведет к снижению прибыли компании и появлению кассовых разрывов. Оптимизировав производственный план компании на основании показателей маржинальной прибыли и трудоемкости выпускаемой продукции, финансовый директор сможет значительно увеличить рентабельность бизнеса.

Добиться максимальной прибыли рационально распределяя материальные, финансовые и трудовые ресурсы на предприятии управленческим аппаратом

Актуальность темы обусловлена большой востребованностью осуществлять решение данной задачи так как огромное количество управляющих субъектов компаний нуждаются в оптимизации планирования своей деятельности. Современные программные комплексы уже в совершенстве автоматизируют этап документооборота на предприятии, позволяют составлять различные аналитические отчеты и выборки.

Целью данной работы является решение задачи оптимизации плана производства с помощью генетического алгоритма с применением пакета Matlab.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:

- изучить теорию по задаче оптимизации плана производства;

- изучить теорию по генетическому алгоритму;

- выбрать содержательную постановку;

- построить целевую функцию;

- ввести ограничения;

- найти оптимальное решение;

- сделать выводы.

Рассматриваемая нами задача является NP – полной, то есть для нее не существует полиномиального алгоритма, решающего её за разумное время, в этом и есть проблема. Либо мы выбираем быстрый алгоритм, но он, как известно, не всегда решает задачу наилучшим образом, либо выбираем точный, который опять же не является работоспособным для больших значений.

1 Понятие задачи оптимизации плана производства

1.1 Постановка и математическая модель задачи

В процессе производства постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии определенных ресурсов (сырья, полуфабрикатов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.

Рассмотрим деятельность некоторой производственной единицы (завода, цеха). Требуется составить план производства, обеспечивающий в максимальной степени выполнение задания. Относительно данной производственной единицы известны ее технологические возможности, а также количества сырьевых ресурсов, которые можно использовать.

Пусть число всех видов ресурсов равно m; обозначим их R1 R2, ..., Rm. Это могут быть: металл, электроэнергия, различные виды поставок с других предприятий. Допустим, что на нашем производстве могут выпускаться n типов товаров G1, G2, ..., Gn. Технологией производства товара Gj назовем набор чисел (аij), i = 1, 2, ..., m, показывающих, какие количества ресурсов Ri( необходимы для выпуска одной единицы товара Gj. Так, производство товара G, можно мыслить как конвейер, на всем протяжении которого подаются ресурсы в количествах а11, a21, а31, ..., am1 а на конце конвейера выходит готовая единица продукта Gi. Можно составить технологическую матрицу представленную на таблице 1.1

Таблица 1.1 - Технологическая матрица

Которая полностью описывает технологические возможности производства. Обозначим ее через А.

Пусть заданы количества bi ресурсов Ri ,i = 1, 2, ...m, которые могут быть использованы в производстве;

положим b = (b1, b2, ..., bm) (вектор ресурсов). Назовем планом производства вектор х = (х1, х2, ..., хn), показывающий, какие количества товаров G1, G2, ..., Gn будут произведены.

Будем считать технологию производства линейной, т. е. предположим, что все затраты ресурсов растут прямо пропорционально объему выпуска. Более точно, допустим, что затраты при выпуске xi единиц продукта Gj описываются вектором (a1jxj, a2jxj, .., amjxj,), причем одновременное

функционирование нескольких технологических процессов приводит к суммарным затратам. .

Таким образом, затраты ресурсов, необходимые для выполнения плана производства х = (x1, x2, . .., хn), описываются вектором, координаты которого имеют вид

или, в матричной форме, вектором Ах. Условие ограниченности ресурсов записывается в виде

Ах b. Следовательно, при заданном векторе ресурсов b рассматриваемой производственной единицей может быть выпущен любой набор товаров х, удовлетворяющий ограничениям Ах b,

х > 0. Как правило, такой вектор х не единствен. В связи с этим появляется возможность выбора наилучшего (в некотором смысле) плана.

Построение математической модели. Критерий оптимизации (суммарную величину прибыли) можно тогда представить так:

->max                            (1)

где:

n - количество выпускаемых продуктов;

cj - прибыль от выпуска и реализации единицы j-го продукта;

bi - количество имеющегося i-го ресурса;

xj - объем выпуска j-го продукта.

При ограничениях

где:

W-величина ресурсов.

Рассмотрим две возможные постановки оптимизационной задачи. Пусть заданы цены с = (с1, с2, ..., сn) на продукты производства G1, G2, . .., Gn. Требуется определить план производства, максимизирующий стоимость выпущенной продукции. Формальная запись этой задачи такова:

                           max<c,x>              (2)

Ах b, x.

Подобная постановка вопроса соответствует принципу планирования «по валу». Тот случай, когда планирование выпуска ведется «по номенклатуре», можно смоделировать иначе. Пусть задан вектор х = (х1 х2, ..., хn), определяющий один комплект выпуска; требуется выпустить как можно больше таких комплектов. Пусть а означает число выпускаемых комплектов. Рассмотрим задачу

max

              Ах b, x, x.              (3)

Здесь неравенство x означает, что вектор х =  (x1, х2, ..., хn) содержит не меньше а полных комплектов выпускаемой продукции.

Модели (2) и (3), хотя несомненно и отражают определенные черты реального производства, являются тем не менее сильно идеализированными. Так, в них отсутствует такое важное для производства понятие, как время. Считается также, что все необходимые ресурсы Ri,  i = 1, 2, ..., т, в нужный момент находятся под рукой. Тем самым мы абстрагировались от острых проблем динамики производства и ритмичности поставок. Кроме того, в построенных моделях не учитываются затраты живого труда и целый ряд других показателей, являющихся непременным атрибутом реального производства.

Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия - максимум прибыли, минимум затрат на производство и т.д.

1.2 Методы решения

1.2.1 Симплекс-метод

Для решения данной задачи разработано много способов. Рассмотрим один из наиболее распространенных – симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Метод был разработан американским математиком Джорджем Данцигом в 1947 году. Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном пространстве при заданных линейных ограничениях.

1.2.2 Итеративный метод

Называются методы (или алгоритмические отображения), которые при помощи заданной начальной точки x0 Î X генерируют последовательность допустимых точек x0,x1,…,xk,xk+1,… , последовательно приближающихся к оптимальному решению x* задачи . Переход от xk к xk+1 называется итерацией. Если за конечное число итераций метод (алгоритм) приводит к оптимальному решению, то он называется точным методом, в противном случае – приближенным методом. Обычно итерация строится по схеме

xk+1 = xk + αkρk, k=0,1,...

где вектор ρk ε Rn называется направлением в точке xk, а число  - длинной шага. Различные итеративные методы отличаются друг от друга способом вычисления  и .

Эффективность итеративного метода оценивается следующими факторами:

1) Универсальностью;

2) Надежностью и точностью;

3) Чувствительностью к исходным данным и параметрам;

4) Затратами на вычисление;

5) Сходимостью и скоростью сходимости;

Говорят, что итеративный метод сходится, если генерируемая им последовательность {xk} сходится к оптимальному решению.

1.2.3 Полный перебор

Полный перебор (или метод «грубой силы») — метод решения задачи оптимизации плана производства путем перебора всех возможных вариантов. Сложность полного перебора зависит от количества всех возможных решений задачи. Если пространство решений очень велико, то полный перебор может не дать результатов в течение нескольких лет или даже столетий.

Любая задача из класса NP может быть решена полным перебором. При этом, даже если вычисление целевой функции от каждого конкретного возможного решения задачи может быть осуществлена за полиномиальное время, в зависимости от количества всех возможных решений полный перебор может потребовать экспоненциального времени работы.

В криптографии на вычислительной сложности полного перебора основывается оценка криптостойкости шифров. В частности, шифр считается криптостойким, если не существует метода «взлома» существенно более быстрого чем полный перебор всех ключей. Криптографические атаки, основанные на методе полного перебора, являются самыми универсальными, но и самыми долгими.

Также данную задачу можно решить при помощи использования генетического алгоритма.

1.3 Генетический Алгоритм

1.3.1 История

Подоплекой возникновения этих методов стали несколько открытий в биологии.

Сначала Чарльз Дарвин опубликовал в 1859 году свою знаменитую работу "Происхождение видов", где были провозглашены основные принципы эволюционной теории:

       Наследственность (потомки сохраняют свойства родителей)

       Изменчивость (потомки почти всегда не идентичны)

       Естественный отбор (выживают наиболее приспособленные).

Тем самым было показано, какие принципы приводят к эволюционному развитию флоры и фауны под влиянием окружающей среды. Однако вопрос о том, как генетическая информация передается от родителей потомкам, долгое время оставался открытым.