Математические основы цифровой обработки сигналов

∆t=1/2F_Bk=1/2·13·10³·2,5=1,54·10^-5=0,0154 мс.

Рис. 7. Временная диаграмма дискретной последовательности с шагом дискретизации ∆t=0,0154 мс

На выходе АИМ имеем дискретизированую  последовательность с шагом дискретизации  ∆t=0,0154 мс.

По свойству дискретного косинуса:

cosω₀k∆t=cos2πk∆t/T, если Т/∆t=const=a, то дискретная косинусоида имеет период Т=а.

Тогда получим для нашего случая:

Т/∆t=(1/F_Bk)/(1/2F_Bk)=2k=2·2,5=5.

Период дискретного косинуса Т=5, это наглядно видно из графика на рисунке 6.

2. Спектральная  диаграмма.

Спектр  исходного сигнала имеет одну спектральную линию на частоте F_В=13 кГц с амплитудой равной U_MAX=15 В, рис. 8.

Рис. 8. Спектр исходного сигнала

Спектр  отсчетных импульсов, поступающих  на вход АИМ расположен на частотах: f_Д≥1/∆t=2kF_B=2·2,5·13·10³=65 кГц.

Спектр  дискретизированой последовательности будет содержать (рис. 9):

а) спектральную линию исходного сигнала.

б) спектральную линию периодичности отсчетных  импульсов на частотах

f_Д, 2 f_Д, 3f_Д и так далее.

в) спектральные линии на частотах:

f_Д-F_В=52 кГц (НБП)

f_Д+F_В=73 кГц (ВБП)

2f_Д-F_В=117 кГц (НБП)

2f_Д+F_В=143 кГц (ВБП)

3f_Д-F_В=182 кГц (НБП)

3f_Д+F_В=208 кГц (ВБП) и так далее.

Рис. 9. Спектр дискретизированной последовательности

Задача 3

1 В соответствии  с дискретным преобразованием  Фурье рассчитать и построить  спектр заданного сигнала. Для  упрощения расчётов заданный сигнал представляет собой двоичную дискретную последовательность (1 и 0), вариант сигнала приведен в таблице 3.

Таблица 3

2 Выполнить  восстановление исходного сигнала  по найденному в пункте 1 спектру,  для чего:

• записать выражение для исходного сигнала в виде суммы гармонических составляющих (ряда Фурье);
• изобразить график восстановленного сигнала для интервала времени, равного длительности одной выборки.

Решение:

1. Запишем  прямое дискретное преобразование Фурье (ПДПФ):

,

где N- общее  количество отсчетов исходного сигнала  длительностью Т, взятых через интервал времени ∆t, то есть N=T/∆t (для данной задачи N=5). U(t)=10000, N=5,

k-порядковый  номер отсчета во временной выборке, изменяется в пределах от

0≤k≤N-1 (0≤k≤4);

n- порядковый  номер отсчета в частотной  выборке;

X_k- абсолютное значение (величина) k-го отсчета во временной области;

С_n- абсолютное значение (величина амплитуды) n-го отсчета в частотной области.

U(t)={X_k}_N=5=(X₁, X₂, X₃, X₄, X₅),

где X₁=1, X₂=X₃=X₄=X₅=0.

Подставляем в формулу, где С₀ - постоянная составляющая для этой последовательности.

Модули  и аргументы значений С₁-С₄ равны соответственно 0,2 и 0⁰.

На рисунке 8 изображен амплитудный спектр заданного сигнала.

Рис. 10. Спектр амплитуд

2. Восстановление  исходного сигнала по найденному спектру.

Исходный  сигнал запишем в виде ряда Фурье:

Подставим полученные значения │С_n│и φ_n в формулу исходного сигнала, а результаты расчетов сведем в таблицу 1.

Таблица 1.

По полученным данным строим график зависимости U(t) от t/T.

Рис. 11. График зависимости исходного сигнала от t/T

Задача 4

На стороне  передачи осуществляется предварительная  цифровая обработка сигнала, поступающего с выхода АЦП, в соответствии с  алгоритмом вида

y_k = a_k x_k + a_k-1 x_k-1 + a_k-2 x_k-2.

Весовые коэффициенты а_к=а₀=3,5, а_к-1=а₁=2, а_к-2=а₂=-2,5, вид сигнала X_k=10000.

Требуется:

1 Изобразить  структурную схему цифрового  фильтра (ЦФ) и описать принцип  его работы.

2 Определить  импульсную характеристику данного  ЦФ.

3 Определить  системную функцию ЦФ.

4 Определить  частотный коэффициент передачи  ЦФ.

5 Рассчитать  сигнал на выходе цифрового  фильтра для отсчетов одного  периода сигнала задачи 3. Построить  временную диаграмму соответствующего  ему аналогового эквивалента  и сравнить с исходным.

Решение:

1. В соответствии  с заданным алгоритмом поступления на вход ЦФ

(рис. 12), нам необходимо использовать в ЦФ:

два элемента задержки, которые входной сигнал выборки  задерживают на один интервал дискретизации;

три умножителя - элементы, выполняющие умножение на число;

сумматор - элемент, выполняющий сложение всех сигналов поступающих на его входы.

Рис. 12. Структурная схема нерекурсивного ЦФ для заданного алгоритма

2. Определим импульсную характеристику данного ЦФ.

Импульсная характеристика h_k - реакция фильтра на входной сигнал, в котором один отсчет равен единице, а все остальные - нулю.

В соответствии с дискретной сверткой коэффициенты а_k являются значениями дискретной импульсной характеристики h_k, то есть

{h_K}={а₀; а₁; а₂}={3,5; 2; -2,5}.

Рис. 13. Дискретная импульсная характеристика.

3. Системная  функция ЦФ.

По определению, системная (передаточная) функция цифрового фильтра:

Н(z)=Y(z)/X(z).

После Z-преобразования и его свойства линейности и сдвинутой последовательности, получим:

4. Частотный  коэффициент передачи ЦФ.

Для нахождения частотного коэффициента передачи ЦФ заменим в формуле для системной функции z на jφ, т.е.:

Н(jφ)=H(z)│_z=jφ

Тогда получится  комплексная частотная передаточная функция фильтра:

Н(jφ)=3,5+2(jφ)^-1-2,5(jφ)^-2=3,5+2/(jφ)-2,5/(jφ)/

5. Расчет сигнала  на выходе ЦФ.

На рисунке 14 пунктиром изображен соответствующий ему эквивалент аналогового сигнала.

Выходную последовательность определим по разностному уравнению:

Рис. 14. Входная последовательность отсчетов {X_k}=(10000)

y₀=а₀х₀=3,5·1=3,5

y₁=а₀х₁+а₁х₀=3,5·0+2·1=2

y₂=а₀х₂+а₁х₁+а₂х₀=3,5·0+2·0-2,5·1=-2,5

y₃=а₀х₃+а₁х₂+а₂х₁=3,5·0+2·0-2,5·0=0

y₄=а₀х₄+а₁х₃+а₂х₂=3,5·0+2·0-2,5·0=0

y₅=0

y₆=0

Рис. 15. Выходная последовательность {y_n}.

Пунктиром изображена временная диаграмма соответствующего ему эквивалента аналогового  сигнала.

Как видно из сравнения, форма выходного сигнала (рисунок 15) отличается от формы входного (рисунок 14). Длительность сигнала на выходе из-за элементов задержки в схеме ЦФ больше длительности входного сигнала на количество отсчетов, равное числу элементов задержки.

 

Выводы

В данной курсовой работе были решены четыре отдельные  задачи, логически взаимосвязанные между собой.

В процессе решения задач:

• была изображена и описана обобщенная структурная схема системы связи для передачи непрерывных сообщений дискретными сигналами;
• приведены временные и спектральные диаграммы для определенных точек тракта;
• найдены шаг квантования и дисперсия шума квантования;
• изображены и описаны временные и спектральные диаграммы исходного сигнала  и дискретизированной последовательности для него;
• был рассчитан и построен спектр заданного сигнала в соответствии с дискретным преобразованием Фурье;
• было выполнено восстановление исходного сигнала по найденному спектру;
• была изображена и описана структурная схема цифрового фильтра (ЦФ;
• определены импульсная характеристика, системная функция, частотный коэффициент передачи ЦФ;
• рассчитан сигнал на выходе цифрового фильтра;
• построена временная диаграмма аналогового эквивалента исходного сигнала.

 

Литература

1. Лекции СибГУТИ «Математические основы цифровой обработки сигналов».
2. Гершензон Е.М., Полянина Г.Д., Соина Н.В., - Радиотехника, М: Просвещение, 1986.