Расчёт электрических фильтров

Для получения схемы  НЧ - прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис. 1.2) выражение для входного сопротивления Z_вх.1(p) .

Подставляя в Z_BX.1(p) (4.1) значение v(p) из (3.4), после преобразований получим:

 для фильтров Чебышева третьего порядка)

                                                   (4.1)

Формула (4.1) описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис. 1.2 фильтр, нагруженный на сопротивление R_Н, это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для Z_BX(p) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, Z_BX.1(p) (4.1) преобразуем к виду:

                                         (4.2)

после чего производим ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: рС, 1/pL, l/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение (4.2) можно записать в виде цепной дроби:

,       (4.3)

                           

Рисунок 4.1  Схема фильтра

По  (4.3) составляем схему (рис. 4.1), на которой С_1н = 3,349; L_2н ⁼ 0,712; С_3н ⁼ 3,349; R_г.н = R_н.н = R_нор.

Денормируем элементы схемы НЧ - прототипа, используя соотношения:

;   ;   R =  R_нор ∙R_г,  (4.4)

где ω_н⁼ ω_п.нч - нормирующая частота;

R_г - нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя соотношения (4.4) и значения ω_н и R_r получаем реальные значения элементов схемы НЧ - прототипа:

нФ   

                                  

нФ

R_г = R_н  = 1 ∙ 10³  Ом = 1 кОм.

 

5. Реализация пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно, что между частотами НЧ - прототипа и частотами ω_ПФ полосового фильтра существует соотношение

, (5.1)

где.

На этом основании  (5.1) индуктивное сопротивление НЧ - прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами:

  и , (5.2)

а емкостное сопротивление НЧ - прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами:

  и   . (5.3)

Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис. 4.1 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 5.1.

Рисунок 5.1 Схема полосового фильтра

 

Элементы этой схемы рассчитаем по формулам (5.2) и (5.3):

                                                                                                               

Ф

 

6. Расчет полюсов ARC-фильтра

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к  полосовому LС - фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LС-фильтра – ее полюсами (3.4). Формула пересчёта полюсов НЧ-прототипа в полюсы ПФ:

где

- полюсы передаточной функции НЧ – прототипа.

Найдем полюсы денормированной передаточной функции ПФ.

Вначале находим:

рад/с;

рад/с;

 рад/с.

Затем сами полюсы:

   (6.1.а)                               

;

;        (6.1.б)

;

.         (6.1.в)

Расчет  показывает, что вместо трех полюсов  нормированной передаточной функции НЧ - прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной.

 Их значения удобно представить в виде таблицы.

 

 

 

Таблица 2

Номера полюсов	Полюсы H(p)
	-α∙104	±ω∙104
1,2	3,5739	61,5771
3,5	2,0958	73,4143
4,5	1,4782	51,7803

Чередование пар полюсов в таблице 2 значения не имеет.

 

7. Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:

.

Тогда вся  передаточная функция рассчитываемого  фильтра будет:

. (7.1)

Коэффициенты  в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле:

.

Коэффициенты  в знаменателе (7.1) находятся по формулам:

;  и   ; (7.2)

где  - значение полюсов (6.1).

;

;

;

;

;

.

Значения  всех рассчитанных коэффициентов сведем в таблицу 3.

Таблица 3

Номер сомножителя	Значение коэффициентов
	ai1	bi1	bi0
1	150910.84	71478.946	3.805×1011
2	150910.84	41915.37	5.394×1011
3	150910.84	29563.576	2.683×1011

Подставляя  найденные коэффициенты в H(p) (7.1) получим:              (7.3)

8. Расчет элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 8.1).

                            

Рисунок 8.1 ПФ на одном операционном усилителе

Если составить эквивалентную  схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис. 8.1, в виде:

                                            (8.1)

Из формулы (8.1) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции H(p) (7.3) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R₁, R₂, С₃, С₄, R₅ ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в двух последних формулах (7.3) и (8.1).

(8.2)

Для первого  звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя первой формулы (7.3):

В системе (8.2) пять неизвестных и только три уравнения. Система не решаема. Поэтому зададимся значениями, например, емкостей конденсаторов С₃ и C₄ (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т. к. переменных конденсаторов с большой емкостью не существует).

Если  принять С₃ = С₄ = 2 нФ, то решая (8.2) систему, получим:

R₁ = 3.313 кОм, R₅ = 13.99 кОм, R₂ = 47.645 Ом.

Составляя аналогичную систему для второго  звена при тех же

С₃=  С₄ = 2 нФ, получим:

R₁ = 3.313 кОм, R₅ = 23.858 кОм, R₂ = 19.541 Ом.

 Аналогично для третьего звена:

R₁ = 3.313 кОм, R₅ = 33.825 кОм, R₂ = 27.774 Ом

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений R₁ и R₅ в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R₂ берется составным, из последовательно соединенных постоянного и переменного резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.

 

 

9. Проверка результатов расчета

Известно, что H(p) всего фильтра будет:

H(p)=H₁(p)H₂(p)H₃(p), (9.1)

где значения каждого сомножителя  будут отличаться из-за разницы в  значениях сопротивлений звеньев фильтра.

Произведем замену переменной вида p = jω в (8.1), в результате чего получаем выражение:

   

Находим модуль H(jω) в виде:

     (9.2)

Зная H(ω), легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого

звена, а затем всего фильтра:

A(ω)=A₁(ω)+A₂(ω)+A₃(ω),        (9.3)

где: . (9.4)                    

Выполним расчет звеньев фильтра. Из предыдущего раздела (8) берем значения элементов С₁, С₂, R₁, R₅.

Подставляем эти значения в (9.2):

Все результаты сводим в таблицу 4.

Таблица 4

f, кГц	f з1	fп1	f0	fп2	fз2
	74.954	80.952	98.168	119.048	128.572
H1(ω)	0.438	0.604	2.111	0.604	0.438
H2(ω)	0.223	0.273	0.578	3.031	1.032
H3(ω)	1.463	4.299	0.82	0.387	0.317
H(ω)	0.143	0.708	1.019	0.655	0.143
A1(ω)	7.166	4.377	-6.491	4.377	7.166
A2(ω)	13.02	11.286	4.761	-9.632	-0.272
A3(ω)	-3.304	-12.667	1.566	8.255	9.988
A(ω)	16.882	2.996	-0.164	3.669	16.882

Из расчета ясно, что значение H(ω) (9.2) наиболее сильно зависит от величины сопротивления R₂, поэтому именно это сопротивление необходимо выбирать переменным.

На рис. 9.1 приведена ожидаемая теоретическая кривая зависимости ослабления фильтра от частоты. На рис. 9.2 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.

Рисунок 9.1 Зависимости ослабления фильтра от частоты

 

 

 

Рисунок 9.2 Принципиальная схема активного полосового фильтра.

 

R₁, R₂, R₅ – сопротивление 1-го звена

R′₁, R′₂, R′₅ – сопротивление 2-го звена

R″₁, R″₂, R″₅ – сопротивление 3-го звена

 

 

Литература

 

1.  Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. «Основы теории цепей».

     Учебник-М.: Радио и связь, 2000 г.

2.  Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. «Теория электрических цепей».   

    Учебник - М.: Радио и связь, 1998 г.

3.  Бакалов В.П., Рожков В.М., Сметанина М.И., Методические указания

«Расчет электрических фильтров». Новосибирск, 2002 г.

4.  Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. - М.: Радио и связь, 1983 г.