Преобразование в ряд Фурье

Преобразование  в ряд Фурье.

Спектры периодических сигналов.

Простейшим периодическим  сигналом является гармоническое колебание (тока, напряжения, заряда, напряженности  поля), определяемое законом

 

при -∞<t<+∞. Здесь А, Т, ω_1, Ψ – постоянные амплитуда, период, частота и фаза.

Произвольный детерминированный  сигнал определяется как некоторая  заданная функция времени x(t). В настоящее время в большинстве случаев произвольный детерминированный сигнал представляется в виде надлежащим образом выбранной совокупности элементарных сигналов.

Основой для такого рассмотрения являются ряды Фурье.

Любой сложный периодический  сигнал может быть представлен в  виде суммы элементарных гармонических  сигналов, действующих при -∞<t<+∞.

Пусть заданная на интервале  t₁ ≤ t ≤ t₂ функция s(t) периодически повторяется с частотой , где Т период повторения, причём выполняются условия (условия Дирихле):

1. В любом конечном интервале функция s(t) должна быть непрерывна или должна иметь конечное число разрывов первого рода.
2. В пределах одного периода функция s(t) должна иметь конечное число экстремальных значений.

Известны две формы  разложения в ряд Фурье: тригонометрическая и комплексная. Тригонометрическая форма разложения выражается в виде

 

или, что равносильно

 

Здесь - постоянная составляющая; a_n и b_n – амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов разложения s(t).

Эти величины определяются выражениями:

 

 

 

Амплитеда (модуль) и фаза (аргумент) n-й гармоники выражаются через a_n и b_n следующим образом:

 

 

Ряд Фурье в комплексной  форме обычно записывается следующим образом:

 

 

Таким образом, если функция x(t) имеет конечную длительность (т.е. ограничена по времени) и удовлетворяет указанным вышем условиям, она может быть сколь угодно точно представлена суммой элементарных детерминированных сигналов типа синусоиды.При этом каждый элементарный сигнал характеризуектся своей амплитудой, определяемой формулой (10) и частотой . Графически это изображено на рисунке 1.

 

 

 

 

 

 

 

Спектры непериодических сигналов.

Непереодический сигнал можно рассматривать как периодический с перидом T→∞. При этом разность частот между соседними гармониками стремится к 0. Спектр становится сплошным, амплитуды – бесконечно малыми. При T→∞ частота ω₁ превращается в dω, nω₁ – в текущую частоту ω, а операция суммирования в операцию интегрирования.

Если функция x(t) не ограничена во времени, удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале и дополнительно удовлетворяет условию

 

т.е. интеграл (11) сходится, то ее можно представить следующим  интегральным выражением:

 

называемым интегралом Фурье.

Внутренний интеграл, являющийся функцией ω, обозначим

 

После подстановки (13) в выражение (12) получаем

 

Выражения (13) и (14) представляют собой прямое и обратное преобразование Фурье.

S(ω) называется спектральной плотность или спектральной характеристикой функции s(t).

Выражение (14) представляет собой непереодическую функцию в виде суммы (интеграла) гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами.

Из анализа преобразований Фурье вытекает следующее важное положение: огибающая сплошного спектра непереодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции совпадают по форме и отличаются только масштабом.

Т.к. спектральная хар-ка – комплексная величина, то ее можно представить в виде

 

Где A(ω) и B(ω) – соответственно действительная и мнимая части спектарльной плотности; S(ω) и Ψ(ω) – амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики спектральнйо плотности.

A(ω) и B(ω) определяются следующими выражениями из формулы (13):

 

 

Модуль и фаза спектральной плотности определяются выражениями:

 

 

Модуль спектральной плотности  есть функция четная, а фаза –  нечетная относительно частоты ω.

Структура спектра непереодического сигнала полностью определяется функциями частоты S(ω) и ϕ(ω) – спектром фаз.

Интегральное преобразование можно привести к тригонометрической форме:

 

 

Цифровые фильтры

  Общие понятия. В одномерной дискретной линейной системе связь между входом и выходом (входной и выходной дискретными последовательностями значений сигнала – отсчетами), задается линейным оператором преобразования TL: y(k∆t) = TL{x(k∆t)}.    

Это выражение отображает краткую запись линейного разностного  уравнения:

a_m y(k∆t-m∆t) = b_n x(k∆t-n∆t),                          (2.1.1)

где k = 0, 1, 2, …- порядковый номер отсчетов, ∆t - интервал дискретизации сигнала, a_m и b_n - вещественные или комплексные коэффициенты. Положим a₀ = 1, что всегда может быть выполнено соответствующей нормировкой уравнения (2.1.1), и, принимая в дальнейшем ∆t = 1, т.е. переходя к числовой нумерации цифровых последовательностей значений сигналов, приведем его к виду: 

y(k) = b_n x(k-n) – a_m y(k-m).                            (2.1.2)

При k < n и m  проведение фильтрации возможно только при задании начальных условий для точек x(-k), k = 1, 2, … , N, и y(-k), k = 1, 2, … , M. Как правило, в качестве начальных условий принимаются либо нулевые значения, либо выполняется продление отсчетов входных сигналов или его тренда по отрицательным значениям аргумента.

      Оператор, представленный правой частью  данного уравнения, получил название  цифрового фильтра, а выполняемая  им операция - цифровой фильтрации  данных (информации, сигналов). Если  хотя бы один из коэффициентов  a_m или b_n зависит от переменной k, то фильтр называется параметрическим, т.е. с переменными параметрами. Ниже мы будем рассматривать фильтры с постоянными коэффициентами (инвариантные по аргументу).

Основные  достоинства цифровых фильтров по сравнению с аналоговыми.

1)Цифровые фильтры могут  иметь параметры, реализация которых  невозможна в аналоговых фильтрах, например, линейную фазовую характеристику.

2)ЦФ не требуют периодического  контроля и калибровки, т.к. их  работоспособность не зависит  от дестабилизирующих факторов  внешней среды, например, температуры.

3)Один фильтр может  обрабатывать несколько входных  каналов или сигналов.

4)Входные и выходные  данные можно сохранять для  последующего использования.

5)Точность цифровых фильтров  ограничена только разрядностью  отсчетов.

6)Фильтры могут использоваться  при очень низких частотах  и в большом диапазоне частот, для чего достаточно только  изменять частоту дискретизации  данных.

 

Министерство  образования и науки Российской Федерации федеральное бюджетное  государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

Пермский  национальный исследовательский политехнический  университет

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория  информации.

Реферат.

 

 

 

 

 

 

Выполнил  студент группы ТК-11:

Тиунов  С.Ю.

Проверил  старший преподаватель:

Кулагина  М.М.

 

 

 

 

 

Пермь, 2013 год