Финансовые ренты

      что позволяет для этой ренты использовать те же таблицы коэффициентов. Заметим, что если единицей измерения времени является 1 год, то коэффициенты дисконтирования и наращения этой ренты определяются как = и = и рассчитываются по формулам, полученным из (10), (11): 

       , (17). Тогда

       = и = (18) 

      Рассмотрим  ренту пренумерандо.

      Связь между коэффициентами дисконтирования  и наращения рент пренумерандо и  постнумерандо следует из их определения. Срок дисконтирования каждого платежа ренты пренумерандо уменьшается, а срок наращения увеличивается на один период ренты по сравнению с обычной рентой. По - прежнему единицей измерения времени считаем 1 год. Если и - коэффициенты дисконтирования и наращения p - срочной ренты пренумерандо (платежи поступают в начале каждого периода длиной ) при начислении на члены ренты процентов 1 раз в год, то справедливы соотношения: 

       =

       =

       = (1 + i) ⁿ . 

      Отсюда  при p = 1 получаем соотношения для годовых рент: 

       =

       =

       = (1 + i) ⁿ . 

      При непрерывном начислении процентов  для p - срочной ренты имеем соотношения: 

       =

      

       .

      Рассмотрим  непрерывную ренту.

      Коэффициенты  дисконтирования и наращения  постоянной непрерывной ренты можно  получить из формул для p - срочной ренты при или по определению для непрерывного равномерно выплачиваемого потока платежей с постоянной годовой интенсивностью f (t) = 1.

      Например, для постоянной непрерывной ренты  при непрерывном начислении процентов  по постоянной силе роста получаем: 

       , 

      где - коэффициент дисконтирования обычной p - срочной ренты при непрерывном начислении процентов.

      Заметим, что так как  

       ,  

      где - коэффициент дисконтирования p - срочной ренты пренумерандо при непрерывном начислении процентов, то 

       . 

      Действительно, при непрерывно поступающих платежах различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает.

      Коэффициент дисконтирования постоянной непрерывной  ренты при начислении процентов 1 раз в год получим по определению:  

       . 

      Коэффициенты  наращения непрерывных рент можно  найти из равенств вида: 

       = ,

       = . 

      Соотношения между коэффициентами дисконтирования  рассмотренных трех видов рент - обычной, пренумерандо и непрерывной - можно установить из следующих соображений.

      Так как  

       ,  

      где i ^{(p) -} эквивалентная годовая номинальная процентная ставка, то 

       . 

      С другой стороны, 

       . 

      Следовательно

           , (19) 

      где , - коэффициенты дисконтирования обычной годовой ренты с начислением процентов 1 раз в год и постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов.

      Равенства (19) можно продолжить для ренты пренумерандо, если учесть соотношения коэффициентов дисконтирования обеих рент: 

        и . 

      Тогда 

       = = . (20) 

      где - эквивалентная учетная ставка.

      Из (19), (20) получаем 

       , (21) 

      где - эквивалентная номинальная учетная ставка.

      Каждое  выражение в этом равенстве - современная стоимость процентов, выплачиваемых по займу 1 д. е. на протяжении n лет в соответствии с различными способами выплаты процентов.

      Аналогичные соотношения можно получить и  для коэффициентов наращения  рент.

      Если  полагают, что срок ренты n = ∞, то ренту называют вечной. Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современную величину такой ренты можно найти.

      Для обычной вечной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в год получаем при n → ∞: 

       . 

      Для такой же ренты пренумерандо: 

       .

      Кроме того, .

      Таким образом, , , . (21) 

      Если  вечная рента является годовой (p = 1), то имеем: 

       , , . (22) 

      Если  начало ренты, т.е. начало ее первого периода, переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной. Современная стоимость отсроченной ренты A_t определяется следующим образом. Согласно определению современной стоимости потока платежей, 

       ,

      где , , - дисконтные множители k - го платежа на временных отрезках [0, t_k], [t, t_k], [0, t] соответственно. Так как , то A - стоимость ренты, рассчитанная на момент начала ее первого периода, т.е. на момент начала неотсроченной ренты.

      Следовательно, A - это современная стоимость неотсроченной ренты.

      Таким образом, современная стоимость  отсроченной ренты определяется путем дисконтирования по процентной ставке ренты в течение времени  t современной стоимости A неотсроченной ренты: 

       , (23) 

      Рассмотрим  зависимость коэффициентов наращения  ренты от срока ренты и процентной ставки.

      Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числа платежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением  процентов 1 раз в год. 

      Имеем , . 

      Ситуацию  можно рассматривать как беспроцентный  долг, выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.

      Установим зависимость от i коэффициента наращения ренты . 

       . 

      Очевидно, - возрастающая функция i, что следует из свойств наращенной суммы разового платежа. Действительно, так как и , то - возрастающая выпуклая функция аргумента i (рис.1). 

       Рис.1. 

      3) Установим зависимость от i коэффициента дисконтирования ренты . 

       . 

      Очевидно, - убывающая функция i, что следует из свойств современной стоимости разового платежа. Действительно, так как и , то - убывающая выпуклая функция аргумента i (рис.2).

      

      Рис. 2 
 

Установим зависимость от n коэффициента наращения ренты . 

       , где . 

      Так как  и , то - возрастающая выпуклая функция аргумента n (рис.3).

      

      Рис. 3 

      Установим зависимость от n коэффициента дисконтирования ренты . 

       ,  

      где .

      Так как  и (вечная рента), то - возрастающая вогнутая функция аргумента n (рис.4).

      

      Рис.4 
 

      Эти свойства используются в задачах  на определение параметров ренты. 
 

      Задача.

      Раскрой материала.

      На  раскрой (распил) поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами. Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором суммарная себестоимость минимальна (построить математическую модель в общем виде).

      Решение:

      Пусть поступает в раскрой m различных материалов.

      Требуется изготовить из них k разных комплектующих изделий (комплектов) в количествах, пропорциональных величинам b₁, b₂,., b_k (условия комплектности).

      Пусть каждую единицу j-го материала j=1,., m можно раскроить n различными способами, так что при использовании i-го способа раскроя, i=1,., n получим а_ij единиц k-го изделия.

      Нужно определить такой план раскроя материалов, обеспечивающий максимальное количество комплектов, если имеющийся запас j-го материала составляет а_j единиц.

      Обозначим через x_ij количество единиц j-го материала, раскраиваемых i-м способом, а через x-общее количество изготавливаемых комплектов.

      Математическая  модель этой задачи имеет такой вид:

      максимизировать x (1)

      при условиях 

        

      Условие 2 означает ограничение на запас j-го материала, а условие 3 - условие комплектности.

 

_{Список используемой литературы}

 

1. Багриновский К. Матюшок В. Экономико-математические метода и модели: Учебник / К. Багриновский, В. Матюшок. - М.: Экономистъ, 1999. - 185с.
2. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учебник / П.П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов. - М.: Гардарики, 2002. - 624с.
3. Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие / Б.Т. Кузнецов. - М.: Экзамен, 2005. - 128с.
4. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. - М.: Дело, 1998. - 304с.
5. Лукашин Ю.П. Финансовая математика: Учебное пособие / Ю.П. Лукашин. - М.: МФПА, 2004. - 81с.
6. Малыхин В.И. Финансовая математика / В.И. Малыхин. - М.: Юнити - Дана, 2003. - 237с.
7. Меньшиков С. Рентабельность и рента / С. Меньшиков // Экономическое стратегии. - 2004. - №1. - с.28-31.
8. Четыркин Е.М. Финансовая математика / Е.М. Четыркин. - 4-е изд. - М.: Дело, 2004. - 400с.