Интеграл

Введение.

Тема моего  проекта: «Интегралы». Данную тему я  выбрала, потому  что она очень  интересная, применяется в разных сферах деятельности и,  конечно  же, это очень познавательно.

На мой взгляд, данный проект поможет мне более  обширно понять методики решения  интегрального исчисления, что очень пригодиться в дальнейшем.

Мне всегда было интересно узнать,  с чего именно произошло данное понятие «Интеграл».  На уроках математики, геометрии преподаватели  не столь велико охватывают предысторию, мы изучаем только саму методику решения. А ведь, хотелось бы узнать по больше. Поэтому, я решила воспользоваться дополнительной литературой, интернет ресурсами, и узнать, что же такое на самом деле «Интеграл». Думаю, Вам тоже будет интересно узнать. В этом Вам поможет мой проект.

Ученые стараются  все физические явления выразить в виде математической формулы. Как только у нас есть формула, дальше уже можно при помощи нее посчитать что угодно. А интеграл — это один из основных инструментов работы с функциями.

Например, если у нас есть формула круга, мы можем при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у нас есть формула шара, то мы можем посчитать его объем. При помощи интегрирования находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.

 

2. История. 
2.1 Сведения о происхождении терминов и обозначений

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова  сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования "восстанавливает" функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция. Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый. 
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли. 
Другие известные Вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее "примитивная функция", которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как "начальный": F(x)= - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием. 
В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. А называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768-1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней  Греции. Античная математика предвосхитила  идеи интегрального исчисления в  значительно большей степени, чем  дифференциального исчисления. Большую  роль при решении таких задач  играл исчерпывающий метод, созданный  Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.). 
Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили. 
Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести. 
Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 на латинском и греческом языках, стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. 
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S = бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму. 
На такой кажущейся теперь, по меньшей мере, сомнительной основе И.Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях "Новая астрономия" (1609 г.) и "Стереометрия винных бочек" (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например, площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки). 
Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы). 
В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =, где N - целое (т. е. вывел формулу), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов. 
 
Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано. 
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и   И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.  
Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917). 
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры. 
Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974), советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.) 

В  развитии  интегрального  исчисления  приняли  участие  и  русские учёные:   М.В.Остроградский, Буняковский В.Я., Чебышев П.Л. Немецкие математики:   Б.Риман, О.Коши. Советский  учёный – А.Я. Химчин. 
 

 

2.2 Традиции начертания

Русскоязычная традиция начертания знака интеграла  отличается от принятой в некоторых  западных странах.

В англоязычной традиции, реализованной в системе LaTeX, символ существенно наклонён вправо.

 

 

Немецкая форма  интеграла вертикальна.

 

 

В русскоязычной  литературе символ выглядит так.

 

3. Виды интегралов

3.1 Неопределенный интеграл.

 

Неопределенный  интегралы и его  свойства.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство:

F’(x) = f(x)

f(x) = cos x

F(x) = sin x

F’(x) = (sin x)’=cos x=f(x)

f(x) =

F’(x) = arctg x

F’(x) = (arctg x)’ =  = f(x)

F’(x) = (arctg x+3)’

F’(x) = (arctg x+c), c ∈ R (R-любое действительное число)

Теорема:

Если функция  F(x) является первообразной для функции f(x), то множество всех первообразных функций f(x) задается формулой F(x)+c, где с ∈R.

Определение:

Множество всех первообразных функций f(x) на некотором промежутке называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке.

Обозначается:

∫ f(x)dx – интеграл от f(x) по dx

∫ - знак интеграла

х – переменная интегрирования

f(x) – подынтегральная функция

f(x)dx – подынтегральное выражение

Нахождение функции  по её производной называется интегрированием функции.

Свойства:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

∫α•f(x)dx = α∫f(x)dx, α∈R

Пример:

∫ 5x⁴dx = 5•∫x⁴dx = 5• + c = x⁵+c

2. Интеграл от суммы или разности функции равен сумме или разности интегралов от этих функций.

∫(f(x)±g(x))dx = ∫f(x)dx±∫g(x)dx

Пример:

∫(x²+x⁶)dx = ∫x²dx+∫x⁶dx = + + c

 
 
 
 
 
 
 

 

 

3.3 Определенный интеграл

 

y=f(x), x∈[а, в]

 

 
 
 
 
 
 

Интегральная сумма:

 
 
 
 

Если lim интегральной суммы существует и не зависит от выбора точек C_i, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a;в], а предел интегрируемой суммы называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а;в]

Обозначается:

Интеграл от «a» до «в» от f(x) по dx:

 

«а» и «в» - пределы  интегрирования;

а – нижний;

в – верхний;

(а<в)

По  определению:

 

 

Применение интеграла

Интегралы в  физике!

Функциональный  интеграл (континуальный интеграл, интеграл по траекториям, фейнмановский интеграл по траекториям) — запись или результат функционального интегрирования (интегрирования по траекториям). Находит наибольшее применение в квантовой физике (квантовой теории поля, Теории струн и т. д.) и статистической физике, а также при изучении ряда классов стохастических процессов вообще.

Под функциональным интегрированием формально имеется  в виду вычисление интеграла некоторого функционала Ф по пространству функций x(t) или какому-то подмножеству такого пространства:

,

который определяется как предел (конечномерного) интеграла  по пространству неких конечномерных  аппроксимаций функций 'x(t)' при стремлении размерности этих аппроксимаций к бесконечности; обычный и наиболее простой способ заключается в рассмотрении функции 'x' на конечном множестве точек  , определяя тогда функциональный интеграл в простейшем случае равномерного разбиения, которым можно и ограничиться, как

где под   имеется в виду соответствующая аппроксимация функционала Ф[x], интегрирование же подразумевается отдельно по   от   до   (в случае фиксированных x₁ и x_N по ним интегрировать не нужно).

Корректность  уже этого определения находится  под вопросом в том смысле, что  не доказано даже для многих из тех  случаев, которые представляют физический интерес, не говоря уж о более общей  постановке вопроса, само существование  предела (в частности, его одинаковость при выборе разных типов разбиения; более того, в ряде примеров разные типы дают разный результат) и нет  во многих случаях способа указания четких критериев выбора «правильного»  типа разбиения, который приведет именно к нужному результату, а значит корректность определения меры интегрирования не доказана даже для многих из тех  случаев, которые представляют физический интерес, по крайней мере, в обычном  смысле.

Также серьёзную  трудность представляет точное вычисление таких интегралов (за исключением  гауссова случая).

Тем не менее, уже  то, что точно вычисляются хотя бы интегралы гауссова типа, дает очень  много для применения метода функционального  интегрирования. В частности, этот результат  можно принять за определение  функционального интеграла для этого случая и доказать, что, будучи так определенным, он действительно обладает свойствами интеграла: допускает интегрирование по частям, замены переменных и т. д.

«Физический смысл» функционального интеграла сводится обычно к тому, чтобы вычислить  сумму (суперпозицию) некоторой величины (обычно это вероятность для классической статфизики или амплитуда вероятности для квантовой механики) по «всем» траекториям (то есть по всем доступным классической частице в случае броуновского движения и по всем, какие можно вообразить, в случае квантовой механики).