Виды и форма взаимосвязи между явлениями

      
(1) 

     Физическая  интерпретация  значений коэффициента корреляции приве-

дена  в таблице2 .   

Таблица 2. Оценка линейного коэффициента корреляции  

 

     Значимость  линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t- критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза ( Н0) о равенстве коэффициента корреляции нулю  [Н0: r=0]  При проверке этой гипотезы используется t-статистика.

      

                                           (2) 

Если  расчетное значение tр> tкр (табличное), то гипотеза Н0 отвергается , что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а следовательно, и о статистической существенности зависимости между Х и У².

     При большем числе наблюдений (n>100) используется следующая формула для определения t - статистики.

      

                                                                                   (3) 

     Пример.  На основе  выборочных данных о деловой  активности однотипных предприятий оценить тесноту связи с помощью линейного коэффициента корреляции между прибылью  У ( тыс. руб.) и затратами (Х) в копейках  на 1 руб.  произведенной продукции ( таблица. 3  ).

     Алгоритм  расчета.

1. Рассчитываем значения дисперсии 

       

     

2.    Рассчитываем значение коэффициента корреляции  по формуле (1)

      

     r= (60400,67 – 744,33*83,67)/(78029,3*46)  = -0,98.

      

     3. Проверяем значимость коэффициента  корреляции,  для этого рассчитываем t - статистику Стьюдента  

      =  
 

Таблица № 3. – Исходные данные  

 

     Сравниваем  полученное  значение  с  табличным  при  уровне  значимости  =0,05 и числе степеней свободы k =6-2=4, которое равно t кр =2,776.

     Вывод. Гипотеза Н0 отвергается, так как  t кр =2,776, что свидетельствует о значимости данного коэффициента корреляции.

       Следует помнить! Приведенные выше зависимости и результаты практических расчетов относятся к предположениям о наличии линейной связи между оцениваемыми параметрами. В случае если заранее известно, что связь нелинейная, то  можно воспользоваться эмпирическим  корреляционным  отношением. [2]

      

2. Регрессионный анализ

      

     Как отмечалось ранее регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком) обусловлено влиянием  одной или нескольких независимых величин ( факторов), а множество  всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую  величину, принимается за постоянные и средние значения. Регрессия  может  быть  однофакторной (парной)  и  многофакторной (множественной). 

     По  форме зависимости различают  линейную и нелинейную регрессию. Парная регрессия  характеризует связь  между двумя признаками: фак-торным  и  результативным.  Аналитическая связь между ними  описывается уравнениями:

• Прямой                 =
• Гиперболы             =
• Параболы       =                                 ( 4  )

 

       Определить тип уравнения можно  из следующих соображений. 

     А) Если результативный и факторный  признаки возрастают  одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то связь  между  ними – линейная. Б)  Если результативный  и факторный признаки изменяются в обратной пропорции, то связь – гиперболическая.

     В)  Если факторный признак увеличивается  в арифметической прогрессии, а  результативный –  значительно  быстрее,  то  используется  параболическая или степенная регрессия.

       Оценка параметров уравнений   регрессии ( а0,  а1, …аn) производится  на основе метода наименьших  квадратов, который изучается   в курсе высшей математики.

     Для парной  линейной регрессии   система  нормальных уравнений, полученная на основе метода наименьших квадратов имеет вид:

      

                                                                ( 5 )

       где n – объем исследуемой совокупности  число единиц наблюдения) 

     В уравнениях регрессии параметр а0 показывает усредненное влияние на  результативный  признак  неучтенных (не  выделенных  для  исследования) факторов, а параметры а1, …аn показывают насколько изменяется в среднем

     значение  результативного признака при увеличении факторного.

     Пример. Имеются данные,  характеризующие  деловую активность ак-ционерных обществ закрытого типа  (АОЗТ): прибыль ( тыс. рубл.) и затраты на 1 руб. произведенной продукции (коп.) . Эти данные приведены в таблице 3. Предположим  наличие  линейной  зависимости  между   рассматриваемыми признаками.  
 
 
 
 
 
 

Таблица 3. – Исходные данные и промежуточные вычисления  

 

     Система нормальных  уравнений для данного  примера имеет вид  (5 ) а  в  числовом варианте :

      

        Откуда: = 4153,88; = - 40,75

     Следовательно,  уравнение регрессии имеет вид

     

=4153,88 – 40, 75х

     Оценка  адекватности моделей построенных  на  основе уравнений рег-

     рессии  начинается с проверки значимости коэффициентов  регрессии с помощью t - критерия Стьюдента 

      

      (6)

     где    - дисперсия коэффициента регрессии.

       Параметр модели признается статически значимым, если выполняется условие:

                                                               ( 7 )

       где   -  уровень значимости критерия проверки гипотезы  о равенстве нулю параметров, измеряющих связь, т. е. статистическая  существенность связи, утверждается при отклонении нулевой гипотезы об отсутствии связи;

     n = (n -k - 1) -  число степеней свободы,  которое  характеризует число 

свободно  варьирующих элементов совокупности.

     Дисперсию   можно определить по зависимости:

      

                                                                                                   (8)

     где    - дисперсия результативного признака;

             k - число факторных признаков в уравнении.

      

     Проверка  адекватности  регрессионной модели в целом осуществляется с помощью  расчета F - критерия ФИШЕРА и величины средней ошибки аппроксимации   .