Основы дисперсионного анализа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ГОУВПО «ВГТУ»)

___________________Инженерно-экономический___________________

(факультет)

Кафедра__экономики и управления на предприятии машиностроении___

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине      «Теория вероятностей и математическая статистика».

Тема            «Основы дисперсионного анализа».

 

Разработал(а) студент(ка) гр.                    Э-115           1234567890

Подпись, дата         Инициалы, фамилия

Руководитель                                                             1234567890

Подпись, дата         Инициалы, фамилия

 

Защищена ___________________ Оценка _____________________________

 

 

 

2012

Содержание

Введение

1 Основные понятия дисперсионного  анализа.

2 Модели дисперсионного анализа.

2.1Случайная модель

2.2Детерминированная модель

2.3Смешанная модель

3 Формула разложения дисперсии

4 Дисперсионный анализ

4.1 Однофакторный анализ

4.2Двухфакторный анализ

Статистическая обработка  результатов измерений

Заключение

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

  Статистические дисциплины играют важную роль в системе экономического образования. Для общеэкономических специальностей, статистика является основой для разработки и совершенствования методов экономического анализа. Сама же статистика - самостоятельная общественная наука, имеющая свой предмет и метод исследования. Понятие статистика происходит от латинского слова status, которое в переводе, означает - положение, состояние, порядок явлений. Эта наука, изучающая положение дел в государстве. Главная её задача это сбор цифровых данных, их обобщение и переработка.

  Математическая статистика – это наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, которая решает следующие задачи:

1) систематизировать полученный статистический материал; 

2) на основании полученных экспериментальных данных оценить интересующие нас числовые характеристики наблюдаемой случайной величины; 

3) определить число опытов, достаточное для получения достоверных результатов при минимальных ошибках измерения. 

  Одной из задач третьего типа является задача проверки правдоподобия гипотез. Она может быть сформулирована следующим образом: имеется совокупность опытных данных, относящихся к одной или нескольким случайным величинам. Необходимо определить, противоречат ли эти данные той или иной гипотезе, например, гипотезе о том, что исследуемая случайная величина распределена по определенному закону, или две случайные величины некоррелированы (т.е. не связаны между собой) и т.д. В результате проверки правдоподобия гипотезы она либо отбрасывается, как противоречащая опытным данным, либо принимается, как приемлемая. Таким образом, математическая статистика помогает экспериментатору лучше разобраться в полученных опытных данных, оценить, значимы или нет определенные наблюденные факты, принять или отбросить те или иные гипотезы о природе рассматриваемого явления.

 

3.

Дисперсионный анализ применяют для изучения влияния  качественных признаков на количественную переменную. Например, пусть имеются k выборок результатов измерений количественного показателя качества единиц продукции, выпущенных на k станках, т.е. набор чисел (x₁(j), x₂(j), … , x_n(j)), где j – номер станка, j = 1, 2, …, k, а n – объем выборки. В распространенной постановке дисперсионного анализа предполагают, что результаты измерений независимы и в каждой выборке имеют нормальное распределениеN(m(j), σ²) с одной и той же дисперсией. Хорошо разработаны и непараметрические постановки [19].

Проверка  однородности качества продукции, т.е. отсутствия влияния номера станка на качество продукции, сводится к проверке гипотезы

H₀: m(1) = m(2) = … = m(k).

В дисперсионном анализе разработаны  методы проверки подобных гипотез. Теория дисперсионного анализа и расчетные  формулы рассмотрены в специальной  литературе [20].

Гипотезу Н₀ проверяют против альтернативной гипотезы Н₁, согласно которой хотя бы одно из указанных равенств не выполнено. Проверка этой гипотезы основана на следующем «разложении дисперсий», указанном Р.А.Фишером:

   (7)

где s² – выборочная дисперсия в объединенной выборке, т.е.

Далее, s²(j) – выборочная дисперсия в j-ой группе,

Таким образом, первое слагаемое в правой части формулы (7) отражает внутригрупповую  дисперсию. Наконец,   - межгрупповая дисперсия,

Область прикладной статистики, связанную с  разложениями дисперсии типа формулы (7), называют дисперсионным анализом. В качестве примера задачи дисперсионного анализа рассмотрим проверку приведенной  выше гипотезы Н₀ в предположении, что результаты измерений независимы и в каждой выборке имеют нормальное распределение N(m(j), σ²) с одной и той же дисперсией. При справедливости Н₀ первое слагаемое в правой части формулы (7), деленное на σ², имеет распределение хи-квадрат с k(n-1) степенями свободы, а второе слагаемое, деленное на σ², также имеет распределение хи-квадрат, но с (k-1) степенями свободы, причем первое и второе слагаемые независимы как случайные величины. Поэтому случайная величина

имеет распределение Фишера с (k-1) степенями свободы числителя и k(n-1) степенями свободы знаменателя. Гипотеза Н₀ принимается, если F < F_1-α, и отвергается в противном случае, где F_1-α – квантиль порядка 1-α распределения Фишера с указанными числами степеней свободы.  Такой выбор критической области определяется тем, что при Н₁ величина F безгранично увеличивается при росте объема выборок n. ЗначенияF_1-α берут из соответствующих таблиц [8].

Разработаны непараметрические методы решения  классических задач дисперсионного анализа [19], в частности, проверки гипотезы Н₀.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Статистическая обработка результатов  измерений.

Практическая часть

ИДЗ-19.1

а)Располагаем значения результатов  эксперимента в порядке возрастания, то есть записываем вариационный ряд.

Таблица 1. Вариационный ряд

0,2	0,3	0,4	0,5	0,7	0,8	1	1,1	1,2	1,4
1,7	1,8	1,9	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6	2,9
3,1	3,2	3,3	3,4	3,6	3,7	3,8	4,2	4,3	4,4
4,4	4,5	4,6	4,7	4,7	4,8	4,9	5	5,1	5,2
5,3	5,5	5,6	5,7	5,7	5,8	5,9	5,9	6	6,1
6,2	6,2	6,3	6,4	6,5	6,8	6,9	7	7,1	7,2
7,3	7,3	7,4	7,5	7,6	7,7	7,8	7,9	8,1	8,2
8,3	8,4	8,6	8,7	8,8	8,9	9	9,1	9,2	9,4
9,5	9,6	9,7	9,9	10	10,1	10,2	10,3	11	10,9
11,1	11,2	11,3	11,4	11,5	11,6	11,7	11,8	12	11,9

 

б) находим размах варьирования

ω=х_max-x_min=11,9-0,2=11,7;

По формуле h=,  -число интервалов, вычисляем длин частичного интервала h=11,7/9=1,3. В качестве границы первого интервала выбираем значение x_min. Тогда границы следующих частичных интервалов вычисляем по формуле x_min+dh, d= от 1 до . Находим середины интервалов по формуле х’_i=(x_i +x_i+1)/2. Подсчитываем число значений результатов эксперимента, попавших в каждый интервал, то есть находим частоты интервалов n_i. После вычисляем относительные частоты W_i=n_i/n, где n=100 и их плотности W_i/h. Все полученные результаты сводим в таблицу 2.

 

 

 

 

 

Таблица 2. Полученные результаты эксперимента.

 

номер частичного интервала li	Границы интервала xi -xi+1	Середина интервала х’i=(xi +xi+1)/2	частота интервала ni	относительная частота Wi	плотность относительной  частоты Wi/h.
1	0,2-1,5	0,85	10	0,1	0,076923077
2	1,5-2,8	2,15	9	0,09	0,069230769
3	2,8-4,1	3,45	8	0,08	0,061538462
4	4,1-5,4	4,75	14	0,14	0,107692308
5	5,4-6,7	6,05	14	0,14	0,107692308
6	6,7-8	7,35	13	0,13	0,1
7	8-9,3	8,65	11	0,11	0,084615385
8	9,3-10,6	9,95	10	0,1	0,076923077
9	10,6-11,9	11,25	11	0,11	0,084615385
∑	_	_	100	_	_

 

 

в) Строим полигон частот и гистограмму относительных  частот (рисунок 1 и рисунок 2 соответственно; масштабы на осях выбираем разные)

 

Рисунок 1. Полигон  частот.

 

 

 

Рисунок 2.Гистограмма  относительных частот.

 

 

Находим значения эмпирической функции распределения F*(x)=n_x/n, где

n_x- число вариант, меньших х;

n-объем выборки;

Результаты сводим в таблицу 3.

Таблица 3. Значения эмпирической функции распределения.

F(0,2)	0
F(1,5)	0,1
F(2,8)	0,19
F(4,1)	0,31
F(5,4)	0,44
F(6,7)	0,6
F(8)	0,71
F(9,3)	0,82
F(10,6)	0,92
F(11,9)	1

 

 

 

 

Рисунок 4. График эмпирической функции распределения.

 

г) Находим выборочное среднее

 

Х=

и выборочную дисперсию

D_в= = – х².

Для этого составляем расчетную  таблицу 4.

Таблица 4.Расчетная  таблица.

mi	Границы интервала xi ;xi+1	Середина интервала х’i	частота интервала ni	ni*х’i	(х’i)2	ni*(х’i)2
1	0,2-1,5	0,85	10	8,5	0,7225	7,225
2	1,5-2,8	2,15	9	19,35	4,6225	41,6025
3	2,8-4,1	3,45	8	27,6	11,9025	95,22
4	4,1-5,4	4,75	14	66,5	22,5625	315,875
5	5,4-6,7	6,05	14	84,7	36,6025	512,435
6	6,7-8	7,35	13	95,55	54,0225	702,2925
7	8-9,3	8,65	11	95,15	74,8225	823,0475
8	9,3-10,6	9,95	10	99,5	99,0025	990,025
9	10,6-11,9	11,25	11	123,75	126,563	1392,188
∑	_	_	100	620,6	_	4879,91