Контрольная работа

По  дисциплине: «Теория вероятностей математическая статистика и случайные процессы»

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

Задача 1

 Вероятность появления поломок на каждой из соединительных линий равна . Какова вероятность того, что хотя бы две линии исправны?

Решение:

В данном случае имеется последовательность испытаний  по схеме Бернулли, т.к. испытания  независимы, и вероятность успеха (соединительная линия будет исправна) р=1-0,2=0,8 одинакова во всех испытаниях. Тогда по формуле Бернулли при n=6, р=0,8, q=1-p=1-0.8=0.2 найдем вероятности того, что исправны две, три, четыре, пять линии:

По условию задачи

=

Тогда найдем вероятность того, что исправных  линий будет не меньше двух (хотя бы две), по формуле:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача 2

В одной урне белых шаров и черных шара, а в другой - белых и черных. Из первой урны случайным образом вынимают   шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

Решение:

Введем следующие  обозначения для событий:

из первой урны переложили три  белых шара

из первой урны переложили два белых шара и один черный

из первой урны переложили один белый шар и два черных

из первой урны переложили три  черных шара

Так как  других вариантов вытащить из первой урны три шара нет, эти события составляют полную группу событий, и они несовместны. Найдем вероятности этих событий по формуле гипергеометрической вероятности:

Введем событие  А – после перекладывания из второй урны вытащили 2 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, что во вторую урну переложили из первой. Найдем условные вероятности:

Теперь найдем вероятность события А по формуле  полной вероятности:

 

Задача 3

В типографии имеется  печатных машин. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,4. Построить ряд распределения числа работающих машин, построить функцию распределения этой случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность того, что число работающих машин будет не больше .

Решение.

Пусть - дискретная случайная величина, = (Число работающих машин среди 6 машин). Она распределена по биномиальному закону распределения с вероятностью p=0,4 (вероятность, что машина работает), и . может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Найдем соответствующие  вероятности по формуле Бернулли:

. Получаем:

Таким образом, закон распределения случайной  величины имеет вид: 

 

Построим  функцию распределения этой случайной  величины

Функция распределения  , то есть

при х ≤ 0, F(x) = 0,

при 0< x ≤ 1, F(x) = 0+ = ,

при 1< x ≤ 2, F(x) = + =0,33696,

при 2< x ≤ 3, F(x) = 0,33696+ = 0,68256,

при 3< x ≤ 4, F(x) = 0,68256+ = 0,7056,

при 4< x ≤ 5, F(x) = 0,7056+ =0,71584,

при x > 5, F(x) = 0,71584+0,28416=1. 

Найдем числовые характеристики по формулам для биномиального  распределения. 

Математическое ожидание случайной величины X   
Дисперсия случайной величины X  

Найдем М вероятность  того, что число работающих машин  будет не больше :

Задача 4.

Непрерывная случайная величина задана ее плотностью распределения

Найти параметр С, функцию  распределения, математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания  случайной величины в интервал [0,4] и квантиль порядка 0,9.

Решение:

Найдём параметр с из уравнения:

Т.к. плотность на разных интервалах задана разными функциями, разбиваем область интегрирования на соответствующее количество интервалов.

Т.к. плотность распределения  задаётся разными выражениями в  зависимости от интервала, функция распределения так же будет задаваться разными выражениями на этих интервалах:

если x < 0,

если 

если x > 4,

Тогда можно записать:

Найдём квантиль порядка  0,9: это решение уравнения F(x)=0,9:

Корень x₂ не попадает в интервал, где функция распределения принимает значение от 0 до 1

x_0.9=  

Вероятность попадания  случайной величины в интервал [a,b] найдём по формуле

 

Задача 5.

 Суточное потребление электроэнергии исправной печью является случайной величиной, распределенной по нормальному закону со средним 1000 кВт/ч и СКО 50 . Если суточное потребление превысит 1100 кВт, то по инструкции печь отключают и ремонтируют. Найти вероятность ремонта печи. Каким должно быть превышение по инструкции, чтобы вероятность ремонта печи была равна 0,02?

Решение.

 Пусть  - суточное потребление электроэнергии исправной печью, случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами и . Будем использовать формулу для нахождения вероятности попадания нормальной случайной величины в интервал:

, где  - функция Лапласа (значения берутся из таблицы).

1) Найдем вероятность  того, что суточное потребление  превысит 1100 кВт, то есть что  печь придется ремонтировать. 

 

2) Найдем, каким должно  быть превышение по инструкции, чтобы вероятность ремонта печи была равна 0,02. Пусть превышение , тогда

Откуда  

 

Превышение должно быть .