Классификация экономических прогнозов

 
 
 

ЗАДАЧА 

По территории Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

Территория федерального округа Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y Среднегодовая численность  занятых в экономике, млн. чел., X

1. Респ. Адыгея 5,1 0,157

2. Респ. Дагестан 13,0 0,758

3. Респ. Ингушетия  2,0 0,056

4. Кабардино –  Балкарская Респ. 10,5 0,287

5. Респ. Калмыкия 2,1 0,119

6. Карачаево- Черкесская  Респ. 4,3 0,138

7. Респ. Северная  Осетия – Алания 7,6 0,220

8. Краснодарский  край 109,1 2,033

9. Ставропольский  край 43,4 1,008

10. Астраханская обл. 18,9 0,422

11. Волгоградская  обл. 50,0 1,147

12. Ростовская обл. 69,0 1,812

Итого 335 8,157

Средняя 27,917 0,6798

Среднее квадратическое отклонение 32,20 0,6550

Дисперсия 1036,87 0,4290

Задание:

1. Расположите территории  по возрастанию фактора X. Сформулируйте  рабочую гипотезу о возможной  связи Y и X.

2. Постройте поле  корреляции и сформулируйте гипотезу  о возможной форме и направлении  связи.

3. Рассчитайте параметры  a1 и a0 парной линейной функции  и линейно-логарифмической функции  .

4. Оцените тесноту  связи с помощью показателей  корреляции (r и ρ) и детерминации (r2 и ρ2), проанализируйте их значения.

5. Надёжность уравнений  в целом оцените через F-критерий  Фишера для уровня значимости  a=0,05.

6. На основе оценочных  характеристик выберите лучшее  уравнение регрессии и поясните  свой выбор.

7. По лучшему уравнению  регрессии рассчитайте теоретические  значения результата ( ), по ним  постройте теоретическую линию  регрессии и определите скорректированную  среднюю ошибку аппроксимации  - ε'ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте прогнозное  значение результата , если прогнозное  значение фактора ( ) составит 1,023 от среднего уровня ( ).

9. Рассчитайте интегральную  и предельную ошибки прогноза (для a=0,05), определите доверительный интервал прогноза ( ; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала ( ), оценивая точность выполненного прогноза.

Решение:

Предварительный анализ исходных данных выявил наличие одной  территории (Краснодарский край) с  аномальными значениями признаков. Эта территория исключена из дальнейшего  анализа.

Расположим территории по возрастанию фактора X.

Территория федерального округа Среднегодовая численность  занятых в экономике, млн. чел., X факт. Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y

3. Респ. Ингушетия  0,056 2

5. Респ. Калмыкия 0,119 2,1

6. Карачаево- Черкесская  Респ. 0,138 4,3

1. Респ. Адыгея 0,157 5,1

7. Респ. Северная  Осетия – Алания 0,22 7,6

4. Кабардино –  Балкарская Респ. 0,287 10,5

10. Астраханская обл. 0,422 18,9

2. Респ. Дагестан 0,758 13

9. Ставропольский  край 1,008 43,4

11. Волгоградская  обл. 1,147 50

12. Ростовская обл. 1,812 69

Итого 6,124 225,900

Средняя 0,557 20,536

Среднее квадратическое отклонение 0,535 21,852

Дисперсия 0,286 477,502

Обычно моделирование  начинается в построения уравнения  прямой: , отражающей линейную форму  зависимости результата Y от фактора X.

Расчёт неизвестных  параметров уравнения выполним методом  наименьших квадратов (МНК), построив систему  нормальных уравнений и решая  её, относительно неизвестных а0 и  а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка  Δ, Δа0 и Δа1. Расчётные процедуры  представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.

Расчётная таблица.

№

А 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,056 2 0,003 0,112 0,725 1,275 1,626 6,209

2 0,119 2,1 0,014 0,250 3,218 -1,118 1,249 5,442

3 0,138 4,3 0,019 0,593 3,969 0,331 0,109 1,610

4 0,157 5,1 0,025 0,801 4,721 0,379 0,144 1,845

5 0,22 7,6 0,048 1,672 7,214 0,386 0,149 1,881

6 0,287 10,5 0,082 3,014 9,865 0,635 0,404 3,094

7 0,422 18,9 0,178 7,976 15,206 3,694 13,647 17,988

8 0,758 13 0,575 9,854 28,500 -15,500 240,243 75,475

9 1,008 43,4 1,016 43,747 38,391 5,009 25,089 24,390

10 1,147 50 1,316 57,350 43,891 6,109 37,324 29,749

11 1,812 69 3,283 125,028 70,202 -1,202 1,444 5,851

Итого 6,124 225,900 6,559 250,397 225,900 0,000 321,427 173,536

Средняя 0,557 20,536 —  — — — — 15,776

Сигма 0,535 21,852 — —  — — — —

Дисперсия, D 0,286 477,502 — — — — — —

Δ= 34,650 — — —  — — — —

Δа0= -51,654

-1,491 — — — —  —

Δа1= 1370,950

39,565 — — — —  — 

Расчёт определителя системы выполним по формуле:

11*6,559 –6,124*6,124 = 34,650;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

225,900*6,559 – 250,397*6,124 = -51,654.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

11*250,397 – 225,900*6,124 = 1370,950.

Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие  результаты:

; .

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии  следующего вида: 

В уравнении коэффициент  регрессии а1 = 39,565 означает, что при  увеличении среднегодовой численности  занятых в экономике на 1 млн. чел. (от своей средней) валовой региональный продукт возрастёт на 39,565 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения  а0 = -1,491 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие  на валовой региональный продукт.

Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент  эластичности:  

В нашем случае, когда  рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется  к виду: 

Это означает, что  при изменении среднегодовой  численности занятых в экономике  на 1% от своей средней валовой  региональный продукт увеличивается  на 1,073 процента от своей средней.

Для оценки тесноты  связи рассчитаем линейный коэффициент  парной корреляции: 

Коэффициент корреляции, равный 0,9687, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между  среднегодовой численностью занятых в экономике и валовым региональным продуктом. Коэффициент детерминации, равный 0,9384, устанавливает, что вариация валового регионального продукта на 93,84% из 100% предопределена вариацией среднегодовой численности занятых в экономике; роль прочих факторов, влияющих на розничный товарооборот, определяется в 6,16%, что является сравнительно небольшой величиной.

Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости  дохода от доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера – Fфактич. и сравним его с табличным  значением – Fтабл. По результатам  сравнения примем решения по нулевой  гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем  значимости α=0,05).

В нашем случае, ; где -число факторов в уравнении; - число изучаемых объектов. Фактическое  значение критерия показывает, что  факторная вариация результата в 137 раза больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом  систематического взаимодействия оборота  розничной торговли и общей суммы  доходов населения. Для обоснованного  вывода сравним полученный результат  с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k=1 и d.f.2=n-k-1=11-1-1=9 и уровне значимости α=0,05.

В силу того, что , нулевую  гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости валового регионального  продукта от среднегодовой численности  занятых в экономике и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

Построим теоретическую  линю регрессии, которая пересечётся  с эмпирической регрессией в нескольких точках.  

График 1 

Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной  средней ошибки аппроксимации:

.

В нашем случае, скорректированная  ошибка аппроксимации составляет 15,776%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при  условии сравнительно небольшого изменения  фактора X (относительно его среднего значения ).

Построение логарифмической  функции предполагает предварительное  выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции  в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с  результатом. Следовательно, для определения  параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго  порядка.

Расчётная таблица.

№

А 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0,056 -2,882 2,000 8,308 -5,765 -12,249 14,249 203,023 69,382

2 0,119 -2,129 2,100 4,531 -4,470 1,550 0,550 0,303 2,680

3 0,138 -1,981 4,300 3,922 -8,516 4,261 0,039 0,001 0,188

4 0,157 -1,852 5,100 3,428 -9,443 6,623 -1,523 2,318 7,414

5 0,220 -1,514 7,600 2,293 -11,507 12,799 -5,199 27,025 25,314

6 0,287 -1,248 10,500 1,558 -13,107 17,665 -7,165 51,341 34,890

7 0,422 -0,863 18,900 0,744 -16,306 24,722 -5,822 33,901 28,352

8 0,758 -0,277 13,000 0,077 -3,602 35,444 -22,444 503,720 109,288

9 1,008 0,008 43,400 0,000 0,346 40,662 2,738 7,499 13,335

10 1,147 0,137 50,000 0,019 6,857 43,026 6,974 48,632 33,958

11 1,812 0,594 69,000 0,353 41,016 51,397 17,603 309,860 85,715

Итого 6,124 -12,006 225,900 25,234 -24,497 225,900 0,000 1187,624 410,517

Средняя 0,557 -1,091 20,536 — — — — 107,966 37,32

Сигма 0,535 1,050 21,852

Дисперсия, D 0,286 1,103 477,502  

Расчёт определителей  второго порядка даёт следующие  результаты:

; ; . Отсюда получаем  параметры уравнения:

,

Полученное уравнение  имеет вид: .

Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что  линейно-логарифмическая функция  описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты  выявленной связи ρ=0,8798 (сравните с 0,7741), скорректированная средняя  ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 37,32%, то есть возможности  использования для прогноза данной модели более ограничены.

Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.

Если прогнозное значение фактора ( ) составит 1,023 от среднего уровня ( ), то есть Xпрогнозн.= 1,023*0,557=0,569, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Yпрогнозн. =39,565-1,491*0,569=38,715 (млрд. руб.).

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется  как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии- и  ошибки прогноза положения регрессии - . То есть, .

В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое  в данной задаче равно 1. Тогда (млрд. руб.).

Ошибка положения  регрессии составит: =

= = 0,012 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит: = = 5,976 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена  в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*5,976 = 13,506 ≈ 14,0 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для  уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=7 составит 2,26. Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.

Это означает, что  фактическая реализация прогноза будет  находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит

= 38,715 + 14,0 = 52,715(млрд. руб.).

Нижняя граница  доверительного интервала составит: = 38,715 - 14,0 = 24,715(млрд. руб.).

Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: = раза. Это означает, что верхняя граница в 2,13 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается  как высокая. Причиной небольшой  точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии  единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с  предельно высокой ошибкой (например, Дагестан с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней  заметно повысятся.