Закон больших чисел

r">     (D (X₁)+ D (X₂) +…+D (X_n))/n² (C+C+…+C)/n²=nC/n²=C/n.

     Итак,

       .                                                (6)

     Подставляя  правую часть (6) в неравенство (5) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

Отсюда, переходя к пределу при  , получим

     Наконец, учитывая, что вероятность не может  превышать единицу, окончательно можем  написать

     Теорема доказана.

     Выше, формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют  различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные  величины имеют одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

     Обозначим математическое ожидание каждой из случайных  величин через а; в рассматриваемом случае среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно а. Мы можем сформулировать теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

     Если  Х₁, Х₂, ..., Х_п ,... –попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число e > О, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число  случайных величин  достаточно велико.

     Другими словами, в условиях теоремы будет  иметь место равенство

 

3. Сущность теоремы Чебышева 

     Сущность  доказанной теоремы такова: хотя отдельные  независимые случайные величины могут принимать значения, далекие  от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу (М (X₁) + М(Х₂) +...+М (Х_п))/п (или к числу а в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

     Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно  предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

     Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

     Теорема Чебышева справедлива не только для  дискретных, но и для непрерывных  случайных величин; она является ярким примером, подтверждающим справедливость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

 

4. Значение теоремы Чебышева для практики 

     Приведем  примеры применения теоремы Чебышева к решению практических задач.

     Обычно для измерения некоторой физической величины производят несколько измерений и их среднее арифметическое принимают в качестве искомого размера. При каких условиях этот способ измерения можно считать правильным? Ответ на этот вопрос дает теорема Чебышева (ее частный случай).

     Действительно, рассмотрим результаты каждого измерения  как случайные величины Х₁, Х₂, ..., Х_п. К этим величинам можно применить теорему Чебышева, если:

     1) они попарно независимы,

     2) имеют одно и то же математическое  ожидание,

     3) дисперсии их равномерно ограничены.

     Первое  требование выполняется, если результат  каждого измерения не зависит  от результатов остальных. Второе требование выполняется, если измерения произведены  без систематических (одного знака) ошибок. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны истинному размеру а. Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определенную точность измерений. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено.

     Если  все указанные требования выполнены, мы вправе применить к результатам измерений теорему Чебышева: при достаточно большом п вероятность неравенства

|(Х₁+ Х₂+ ...+ Х_п)/n-a|< e

как угодно близка к единице. Другими словами, при достаточно большом числе  измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое как угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины.

     Итак, теорема Чебышева указывает условия, при которых описанный способ измерения может быть применен. Однако ошибочно думать, что, увеличивая число измерений, можно достичь сколь угодно большой точности. Дело в том, что сам прибор дает показания лишь с точностью ±a; поэтому каждый из результатов измерений, а следовательно, и их среднее арифметическое будут получены лишь с точностью, не превышающей точности прибора.

     На  теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной  выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых  объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемое сотнями.

     В качестве другого примера можно  указать на определение качества зерна по небольшой его пробе. И в этом случае число наудачу  отобранных зерен мало сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно  достаточно велико.

     Уже из приведенных примеров можно заключить, что для практики теорема Чебышева имеет неоценимое значение.

 

5. Теорема Бернулли 

     Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Можно ли предвидеть, какова примерно будет относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Якобом Бернулли (опубликована в 1713 г.), которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науке. Доказательство Бернулли было сложным; простое доказательство дано П. Л. Чебышевым в 1846 г.

     Теорема Бернулли. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

     Другими словами, если e – сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

     Доказательство. Обозначим через Х₁ дискретную случайную величину – число появлений события в первом испытании, через Х₂ – во втором, ..., Х_п – в п-м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью 1- p = q.

     Можно ли применить к рассматриваемым  величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно  независимы и дисперсии их ограничены. Оба условия выполняются. Действительно, попарная независимость величин Х₁, Х₂, . . ., Х_п следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины Х_i (i= 1,2, . .., п) равна произведению pq; так как p+q= 1, то произведение pq не превышает (известно, что произведение двух сомножителей, сумма которых есть величина постоянная, имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей. Здесь сумма p_i+q_i=1, т.е. постоянна, поэтому при p_i=q_i=1/2 произведение p_iq_i имеет наибольшее значение и равно 1/4) 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С =1/4.

     Применяя  теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем

     Приняв  во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин X_i; (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности р наступления события, получим

     

     Остается  показать, что дробь (Х₁+ Х₂+ ...+ Х_п)/n  равна относительной частоте т/п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин Х₁, Х₂, .. ., Х_п при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма Х₁+ Х₂+ ...+ Х_п равна числу т появлений события в п испытаниях, а значит,

(Х₁+ Х₂+ ...+ Х_п)/n=m/n.

     Учитывая  это равенство, окончательно получим 

     Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности р; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

     Таким образом, сходимость относительной  частоты т/п к вероятности р отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимости по вероятности» (последовательность случайных величин Х₁, Х₂,...сходится по вероятности к случайной величине X, если для любого e>0 вероятность неравенства              |X_n-X|<e при стремится к единице). Точнее, различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если т/п стремится при к р как пределу в смысле обычного анализа, то начиная с некоторого n = N и для всех последующих значений п неуклонно выполняется неравенство |т/п—р | < e; если же т/п стремится по вероятности к р при , то для отдельных значений п неравенство может не выполняться.

     Итак, теорема Бернулли утверждает, что  при  относительная частота стремится по вероятности к р. Коротко теорему Бернулли записывают так:

     

.

     Как видим, теорема Бернулли объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     В курсовой работе изучен закон больших чисел и рассмотрено ее значение для практики.

     В первом и втором пунктах курсовой работы доказывается неравенство Чебышева и на ее основе выводится теорема Чебышева.

     В третьем пункте рассмотрена сущность теоремы Чебышева, которая заключается в том, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины.