Производственная функция

Производственная функция

Производственная функция (также функция производства) — экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количество продукции) и факторами производства, такими как затраты ресурсов, уровень технологий. Может выражаться как множество изоквант.[1]

Агрегированная производственная функция может описывать объёмы выпуска народного хозяйства в целом.

В зависимости от анализа влияния факторов производства на объём выпуска в определённый момент времени или в разные промежутки времени производственные функции делятся на статические   и динамические  . По внутреннему устройству выделяются линейные ( ), мультипликативно-степенные ( , при отсутствии одного из факторов такие функции обращаются в нуль).

Неоклассическая производственная функция

Пусть   - выпуск, а   - факторы производства (обычно  -капитал и   - труд). Производственная функция   является неоклассической, если выполнены следующие условия:

1) Положительная и убывающая  предельная производительность  факторов :

2) Линейная однородность или  постоянная отдача от масштаба:

Отсюда следует, в частности, что производственную функцию можно представить как  , в частности, для двух факторов - капитала и труда, обычно представляют следующим образом:  , то есть как зависимость производительности труда от его капиталовооруженности. Кроме того, выполнена теорема Эйлера об однородных функциях:  .

3) Условие Инада:

, 

Первое условие Инада означает, что все факторы нужны для производства. Второе - что выпуск неограниченно растет при неограниченном росте каждого фактора.

Примеры производственных функций

• Производственная функция Кобба-Дугласа:  , в которой предполагается постоянная эластичность выпуска по факторам производства.

• Производственная функция CES (с постоянной эластичностью замещения): 

• Линейная производственная функция: 

• Производственная функция Леонтьева: 

Функция Кобба — Дугласа

Функция Кобба-Дугласа

Функция Кобба — Дугласа — зависимость объёма производства   от создающих его факторов производства — затрат труда   и капитала  .

Впервые была предложена Кнутом Викселлем. В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом (англ. Charles Cobb) и Полом Дугласом (англ. Paul Douglas) в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путём определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объём выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.

Общий вид функции:

Где А — технологический коэффициент, α — коэффициент эластичности по труду, а β — коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени (α + β) равна единице, то функция Кобба — Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, — убывающую. Изокванта, соответствующая функции Кобба — Дугласа, будет выпуклой и «гладкой».

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, в виде равенства

Обобщением функции Кобба — Дугласа является функция с постоянной эластичностью замещения факторов (CES функция):  , которая соответствует функции Кобба — Дугласа при  .

Разногласия

Ни Кобб, ни Дуглас не предоставили теоретических обоснований постоянства коэффициента   в разных секторах экономики.

Например, рассмотрим функцию для двух секторов экономики с одинаковыми технологическими коэффициентами:

Как видно в сумме мы не получим:

Равенство возможно лишь если: